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Notazione

In questa pagina sono spiegate le principali notazioni utilizzate nel sito.

Si tratta di notazioni assolutamente standard, ma ho pensato di aiutare i frequentatori del sito meno esperti in matematica e chiarire eventuali dubbi.

 

Numeri

 

Per quanto riguarda i numeri interi, ho naturalmente usato la notazione consueta.

 

Un intero usato come pedice di un numero indica la base di rappresentazione; per esempio, 10112 significa 1011 in base 2, ossia 1 • 23 + 0 • 22 + 1 • 2 + 1 = 11. In assenza di indicazioni, la base è naturalmente 10. In basi maggiori di 10, le cifre superiori a 9 sono indicate con lettere maiuscole dell’alfabeto, secondo la convenzione usuale: A = 10, B = 11, C = 12 ecc..

 

Per alcuni numeri interi enormi riportati per le caratteristiche della loro rappresentazione decimale, come i numeri palindromi, ho usato la notazione (abc)n per indicare n ripetizioni della sequenza di cifre abc; per esempio, 1(23)4(5)6 indica 123232323555555.

 

Per quanto riguarda i numeri reali, ho usato il punto, come nell’uso internazionale, e non la virgola, come nell’uso italiano, come separatore tra parte intera e parte frazionaria dei numeri.

 

Un trattino sopra le ultime cifre dopo il punto decimale di un numero indica che le stesse cifre si ripetono all’infinito. Per esempio, 1.234 significa 1.23434343434....

 

Nei limiti del possibile, ho riportato i numeri con 10 cifre dopo il punto decimale, arrotondandoli.

 

Il simbolo ↑ indica la notazione di Knuth per numeri enormi, spiegata nella pagina sui numeri di Ackermann.

 

Quando un numero primo è seguito da un asterisco, significa che è solo molto probabilmente primo, ma che non si è del tutto sicuri che lo sia (la probabilità che non lo sia è comunque molto bassa).

 

Quando un numero in una tabella è seguito da un punto interrogativo, significa che non si è certi che non ne esista uno inferiore o superiore (a seconda dei casi) con la stessa proprietà.

 

Variabili 

 

Ho usato il corsivo per i nomi di variabile, inclusi i membri di successioni infinite, come i numeri di Fibonacci Fn e i caratteri normali per le costanti; le uniche ambiguità possono capitare nel testo, dove la costante e (numero di Eulero) può essere scambiata per una congiunzione e la costante i (unità immaginaria) per un articolo, ma mi sembrano inconvenienti trascurabili.

 

Salvo diversa indicazione, le variabili p e q indicano numeri primi e pn indica l’n-esimo numero primo.

 

Simboli

 

Ho usato il punto • come simbolo di moltiplicazione, riservando il simbolo × per indicare prodotto di dimensioni, per esempio indico una matrice con 3 righe e 4 colonne come 3 × 4.

Ho usato il simbolo ≈ per indicare “circa uguale a”; in tal caso le cifre riportate sono tutte corrette e l’ultima è arrotondata. Per esempio, Valore approssimato di π, dove l’ultima cifra è arrotondata perché il valore è 3.14159265358979… (ragioni di spazio mi impediscono di riportare tutte le cifre del numero).

 

Ho usato i seguenti simboli per indicare operatori di uso comune:

  • x mod y si legge “x y” e indica il resto della divisione tra x e y; per esempio 7 mod 3 = 1;

  • xy mod m si legge “x congruente a y modulo m” e significa che i resti delle divisioni di x e y per m sono uguali, cioè che xy è divisibile per m;

  • x | y si legge “x divide y” e indica che y è un multiplo intero di x;

  • |x| si legge “valore assoluto di x”, vale a dire il valore di x con segno comunque positivo; per esempio |-2| = 2;

  • Massimo intero non superiore a x si legge “parte intera di x”; indica il massimo intero non superiore a x; per esempio Massimo intero non superiore a 3.95 e Massimo intero non superiore a -3.95;
  • Minimo intero non inferiore a x indica analogamente il minimo intero non inferiore a x; per esempio Minimo intero non inferiore a 7.001 e Minimo intero non inferiore a -7.001;
  • Intero più vicino a x indica l’intero più vicino a x; per esempio Intero più vicino a 5.499 e Intero più vicino a -5.499;
  • {x} indica la parte frazionaria di x, cioè Parte frazionaria di x; per esempio {2.499} = 0.499, {7.501} = 0.501 e {-2.499} = 0.501;
  • x indica il complesso coniugato di x, ossia un numero complesso con la stessa parte reale di x e la parte immaginaria di segno opposto.

 

Ho usato alcuni simboli di uso comune per indicare alcune categorie particolari di numeri:

  • n! si legge “n fattoriale”; indica il prodotto dei numeri da 1 a n incluso; per esempio, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24;

  • n!! si legge “n doppio fattoriale”; indica il prodotto dei numeri da 1 a n incluso, con la stessa parità di n; per esempio, 4! = 2 • 4 = 6 e 7!! = 1 • 3 • 5 • 7 = 105;

  • Coefficiente binomiale m su n è il >coefficiente binomialem su n”, indicato in letteratura anche come C(m, n) ed è uguale a Coefficiente binomiale m su n;

  • Numero euleriano m su n è il numero eulerianom su n”;

 

Somme e prodotti

 

Somma per k da 1 a n di E si legge “somma per k da 1 a n di E” e indica la somma di n copie di E, sostituendo in ciascuna a k un valore da 1 a n, estremi inclusi. I valori estremi di k possono variare, arrivando anche a infinito, ed E indica una qualsiasi espressione, di solito contenente k. Quindi per esempio Somma per k da 1 a 4 di k.

Somma sui divisori di n di E si legge “somma sui divisori di n di E” e indica la somma di varie copie di E, sostituendo in ciascuna a d un divisore di n, inclusi 1 e n; E indica una qualsiasi espressione, di solito contenente d. Quindi per esempio Somma dei divisori di 6.

 

Somma sui divisori primi di n di E si legge “somma sui divisori primi di n di E” e indica la somma di varie copie di E, sostituendo in ciascuna a p un divisore primo di n, senza ripetizione; E indica una qualsiasi espressione, di solito contenente p. Quindi per esempio Somma dei divisori primi di 12.

 

Somma sui primi minori di n di E si legge “somma sui primi minori di n di E” e indica la somma di varie copie di E, sostituendo in ciascuna a p un primo minore di n; E indica una qualsiasi espressione, di solito contenente p. Quindi per esempio Somma dei primi minori di 12.

 

Prodotto per k da 1 a n di E si legge “prodotto per k da 1 a n di E” e indica il prodotto di n copie di E, sostituendo in ciascuna a k un valore da 1 a n, estremi inclusi. I valori estremi di k possono variare, arrivando anche a infinito, ed E indica una qualsiasi espressione, di solito contenente k. Quindi per esempio Prodotto per k da 1 a 4 di k.

Prodotto per tutti i divisori di n di E si legge “prodotto per tutti i divisori di n di E” e indica il prodotto di varie copie di E, sostituendo in ciascuna a d un divisore di n, inclusi 1 e n; E indica una qualsiasi espressione, di solito contenente d. Quindi per esempio Prodotto dei divisori di 6.

 

Prodotto per tutti i divisori primi di n di E si legge “prodotto per tutti i divisori primi di n di E” e indica il prodotto di varie copie di E, sostituendo in ciascuna a p un divisore primo di n, senza ripetizione; E indica una qualsiasi espressione, di solito contenente p. Quindi per esempio Prodotto dei i divisori primi di 12.

 

Prodotto per tutti i primi di E si legge “prodotto per tutti i primi di E” e indica il prodotto di infinite copie di E, sostituendo in ciascuna a p un numero primo a partire da 2. Se la lettera che compare sotto il simbolo di prodotto è p, si intende che il prodotto va calcolato su tutti i primi; se bisogna iniziare da un primo maggiore di 2, ciò è indicato sotto il simbolo di prodotto. 


Prodotto per tutti i primi minori di n di E si legge “prodotto per tutti i primi minori di n di E” e indica il prodotto di varie copie di E, sostituendo in ciascuna a p un primo minore di n; E indica una qualsiasi espressione, di solito contenente p. Quindi per esempio Prodotto dei primi minori di 12.

 

Sequenze

 

Nelle formule ho usato abbreviazioni comuni per i numeri di varie sequenze:

 

Funzioni

 

Con ordpn ho indicato l’ordine di n rispetto a p, ossia il minimo valore di k tale che nk ≡ 1 mod p (v. funzione ordk(n)).

 

Seguendo l’uso comune, ho indicato le funzioni in corsivo, con l’eccezione di min, max, mcm, MCD, Re, Im, sin, cos, tan, sinh, cosh, tanh, exp e log, scritte con caratteri normali. Gli argomenti sono sempre tra parentesi, con l’eccezione delle ultime otto funzioni suddette, perché sinx è ufficientemente chiaro, non ambiguo e più breve di sin(x).

 

Per quanto riguarda il logaritmo, se la base non è specificata con un pedice, è sempre e, quindi logx indica il logaritmo “naturale” e log2x il logaritmo in base 2.

 

Con min e max ho indicato rispettivamente minimo e massimo degli argomenti.

 

Con mcm e MCD ho indicato rispettivamente minimo comune multiplo e massimo comun divisore degli argomenti.

 

Con Re(x) e Im(xho indicato rispettivamente parte reale e parte immaginaria di un numero complesso.

 

Con lognx, sinnx ecc. ho indicato la potenza n-esima di logx, sinx ecc., con n intero e maggiore di 0, mentre con tan-1x, sin-1x ecc. indico la funzione inversa. Le due notazioni sono in contrasto tra loro, tuttavia le ho adottate insieme perché entrambe di uso comune e non sono possibili confusioni.

 
Con Derivata prima di f, Derivata seconda di fDerivata terza di f ecc. ho indicato le derivate prima, seconda, terza ecc. di una funzione, ma utilizzo anche per lo stesso scopo f’(x) f”(x), f”’(x) ecc., se non ci sono ambiguità sulla variabile rispetto alla quale si deriva. Per la derivata n-esima utilizzo Derivata n-esima di f o f(n)(x).

 

Termini

 

Per quanto riguarda la terminologia, ho utilizzato solo i seguenti termini leggermente inconsueti:

  • una funzione ad argomenti interi f(n) si dice “additiva”, se f(ab) = f(a) + f(b) se a e b sono primi tra loro;

  • una funzione ad argomenti interi f(n) si dice “completamente additiva” se f(ab) = f(a) + f(b) per qualsiasi valore di a e b;

  • una funzione ad argomenti interi f(n) si dice “moltiplicativa”, se f(ab) = f(a)f(b) se a e b sono primi tra loro;

  • una funzione ad argomenti interi f(n) si dice “completamente moltiplicativa” se f(ab) = f(a)f(b) per qualsiasi valore di a e b.