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Melfi e Morelli sulla funzione σ (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Giuliano Morelli avanzò alcune congetture sui legami tra la funzione σ e i numeri primi:

  • 2n + 1 è primo se e solo se Formula per una congettura di Morelli sulla funzione σ;

  • 6n – 1 è primo se e solo se Formula per una congettura di Morelli sulla funzione σ;

  • 2n + 1 è primo se e solo se Formula per una congettura di Morelli sulla funzione σ;

  • 4n + 1 è primo se e solo se Formula per una congettura di Morelli sulla funzione σ;

  • 4n + 3 è primo se e solo se Formula per una congettura di Morelli sulla funzione σ.

La prima si dimostra facilmente a partire dalla formula di Ramanujan Formula di Ramanujan che coinvolge la funzione σ e la seconda a partire dalla formula, dimostrata da Giuseppe Melfi, Formula di Ramanujan che coinvolge la funzione σ, per n = 3m + 2; le restanti furono dimostrate da Melfi nel 1998.

 

Partendo da queste, Giuseppe Melfi dimostrò nel 1998 alcune generalizzazioni, nelle quali vale la convenzione di Ramanujan σ(0) = –1 / 24:

  • Formula per una congettura di Melfi sulla funzione σ, per n dispari;

  • Formula per una congettura di Melfi sulla funzione σ, per n = 4m + 1;

  • Formula per una congettura di Melfi sulla funzione σ, per n = 4m + 3;

  • Formula per una congettura di Melfi sulla funzione σ, per n dispari.

Vedi anche

Funzione σ, Funzione σk.

Bibliografia

  • Melfi, Giuseppe;  On some Modular Identities, Articolo disponibile in rete, 1998.

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