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Dudeney (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

I numeri di Dudeney sono i numeri naturali uguali al cubo della somma delle loro cifre.

 

Sono solo 6:

  • 1 = 13,

  • 512 = 83,

  • 4913 = 173,

  • 5832 = 183,

  • 17576 = 263,

  • 19683 = 273.

 

Prendono il nome da Henry Ernest Dudeney (Mayfield, Inghilterra, 10/4/1857 – Lewes, Inghilterra, 23/4/1930), che sfruttò questa caratteristica in uno dei suoi problemi.

 

La definizione si può generalizzare ad altre potenze e altre basi; fissati esponente e base, i numeri di Dudeney sono in numero finito (e generalmente pochi). Infatti, se s(n) è la somma delle cifre di n in base b, Limite superiore per s(n), perché n è scritto con Numero di cifre necessarie per scrivere n cifre, ciascuna delle quali è al massimo b – 1; pertanto Limite superiore per s(n), ma fissati b e k, n > (2blogbn)k > s(n), per n abbastanza grande.

 

A parte 1, che è un numero di Dudeney in qualsiasi base e per qualsiasi esponente, esiste una famiglia infinita di numeri di Dudeney: in qualsiasi base b, (b – 1)2 è un numero di Dudeney per l’esponente 2. Per esempio, 92 = 81 è un numero di Dudeney in base 10.

 

Sperimentalmente sembra che vi sia un numero di Dudeney maggiore di 1 per ogni base e ogni esponente, con pochissime eccezioni; per esponenti sino a 10 e basi sino a 20 non vi sono di numeri di Dudeney maggiori di 1:

  • in base 2 per gli esponenti 2, 3 e 7;

  • in base 3 per esponente 6;

  • in base 18 per gli esponenti 7 e 8.

 

Il massimo numero di Dudeney noto è 359000003122353, che non riporto perché ha 23589672 cifre, la somma delle quali è 35900000 (Giovanni Resta, 2012).

 

Un esempio notevole è 5059937167677, con 112413 cifre: base ed esponente sono numeri primi (Giovanni Resta, 2012).

Bibliografia

  • Dudeney, Henry Ernest;  536 Puzzles and Curious Problems, Souvenir press, 1967.

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