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Mordell (costanti di)

Geometria 

Consideriamo il reticolo di punti con coordinate intere nel piano cartesiano: scelte due rette non parallele, possiamo tracciare vari parallelogrammi, centrati sull’origine, che non contengano altri punti oltre all’origine stessa. Per ogni coppia di rette esisterà un parallelogramma massimo, eventualmente con altri punti del reticolo sul perimetro, ma nessuno all’interno. Se le rette sono parallele agli assi cartesiani, otteniamo il parallelogramma massimo, mostrato nella figura seguente: un quadrato di area 4 con i vertici nei punti di coordinate (±1, ±1).

 

Parallelogramma di area massima contenente un unico punto del reticolo

 

Se le rette sono inclinate di 45º, il massimo parallelogramma è quello mostrato nella figura seguente, di nuovo con area 4.

 

Parallelogramma di area massima contenente un unico punto del reticolo

 

 

Sorge quindi la domanda: per quale coppia di rette il parallelogramma massimo sarà minimo?

G. Szekeres provò nel 1937 che il minimo si ottiene se le inclinazioni delle rette sono φ e 1 – φ e che in tal caso il parallelogramma, mostrato nella figura seguente, è un quadrato di area Area del parallelogramma di area massima, contenente un unico punto del reticolo.

 

Parallelogramma di area massima contenente un unico punto del reticolo

 

 

Il problema può essere riproposto in dimensioni superiori. Si chiama “costante di Mordell” κn il volume del minimo parallepipedo massimo a n dimensioni, diviso per 2n.

Pertanto Formula per la costante di Mordell κ(2), mentre il valore delle successive costanti non è noto con esattezza, però sappiamo che Limite inferiore per il valore della costante di Mordell κ(3)Limite inferiore per il valore della costante di Mordell κ(4) e per n abbastanza grande Limiti inferiore e superiore per il valore della costante di Mordell κ(n).

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