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Mertens (congettura di)

Congetture 

Nel 1885 Thomas Johannes Stieltjes (Zwolle, Olanda, 29/12/1856 – Toulouse, Farancia, 31/12/1894) scrisse a Hermite che aveva dimostrato che Formula per la congettura di Mertens è una funzione limitata, dove M(n) è la funzione di Mertens, e riteneva che il massimo valore fosse inferiore a 1 per n > 1. Questo equivale a dire che tra gli interi minori di n e non multipli di un quadrato, la differenza tra il numero di quelli con un numero dispari di fattori primi e quelli con un numero pari è sempre inferiore a Radice quadrata di n.

Stieltjes non pubblicò però mai la dimostrazione e quando Mertens pubblicò nel 1897 una tabella con i valori sino a 10000, suggerendo lo stesso limite, l’affermazione divenne nota come “congettura di Mertens”.

 

Tra il 1897 e il 1913 R.D. von Sternek estese la tabella di Mertens sino a 500000, supponendo, in base ai dati disponibili, che il valore massimo fosse  1 / 2, per n > 200. Il limite inferiore per n deriva dal fatto che il massimo valore noto era |M(5) / sqrt(5)| e che |M(200) / sqrt(200)|, mentre non erano noti valori maggiori di 1 / 2 per n > 200.

 

La congettura è di grande importanza, perché l’esistenza di un limite del tipo |M(n) / sqrt(n)| < c, per una qualsiasi costante c, implicherebbe la verità della famosa ipotesi di Riemann. Infatti, dall’identità Formula per 1 / ζ(s) si ricava Formula per 1 / ζ(s), valida per Re(s) > 1, e se esistesse un limite superiore c, anche maggiore di 1, varrebbe Integrale che coinvolge la funzione di Mertens e siccome questo integrale converge per Re(s) > 1 / 2, anche il primo integrale sarebbe convergente nella stessa regione. Questo implicherebbe non solo l’assenza di zeri della funzione ζ in tale regione, ossia l’ipotesi di Riemann, ma anche che la funzione ζ non ha zeri multipli.

In seguito è stato dimostrato che l’ipotesi di Riemann sarebbe dimostrata se si dimostrasse l’esistenza di un limite superiore o di uno inferiore di M(n) / sqrt(n) o se si dimostrasse che Integrale che coinvolge la funzione di Mertens cresce come logy.

 

Da notare però che non vale l’inverso, quindi è possibile che l’ipotesi di Rieman sia vera (come è opinione comune) e che il limite superiore della funzione, ipotizzato da Stieltjes, non esista, come alcuni ritengono: vi sono ipotesi per la velocità di crescita dei valori estremi che vanno da sqrt(log(log(n))) (I.J. Good e R.F. Churchhouse, 1968) a crescite ancora più lente come sqrt(log(log(log(n)))) (Tadej Kotnik e te Riele, 2006) o log(log(log(n)))^(5 / 4) (Steve Gonek).

 

La congettura era molto plausibile: dopotutto la funzione è la somma dei primi n valori della funzione μ di Möbius, che produce solo valori –1, 0 e 1, variamente alternati, quindi è ragionevole che il valore assoluto della sua somma, che oscilla tra valori positivi e negativi, non diventi mai troppo grande. Se i valori fossero casuali, ci si aspetterebbero appunto dei valori estremi dell’ordine di Radice quadrata di n.

 

I dati disponibili sembravano suffragare la congettura, ma nel 1960 W.B. Jurkat dimostrò che il limite proposto da von Sternek viene superato, pur senza calcolare alcun valore, e nel 1963 G. Neubauer trovò alcuni valori di n per i quali il limite di von Sternek viene superato. In seguito H. Cohen e F. Dress dimostrarono che il minimo valore di n maggiore di 200 per il quale il valore supera 1 / 2 è 7725038629.

 

Questi risultati spinsero altri matematici a lavorare sul problema, migliorando lentamente le stime sui valori minimi e massimi.

Nel 1966 R. Spira dimostrò che il valore minimo di M(n) / sqrt(n) è al massimo –0.6027 e quello massimo almeno 0.5355.

Nel 1979 Hermanus Johannes Joseph te Riele dimostrò che il valore minimo è al massimo –0.860 e quello massimo almeno 0.843.

 

Finalmente nel 1985 Andrew M. Odlyzko e te Riele dimostrarono che la congettura di Mertens, almeno nella sua forma originale, è falsa, nel senso che esistono valori di n che rendono M(n) / sqrt(n) maggiore di 1.06 e minore di –1.009, di nuovo senza calcolare esplicitamente alcun valore.

Il metodo dei due matematici potrebbe teoricamente essere adattato a provare limiti superiori, ma i calcoli necessari diventano rapidamente proibitivi; già per superare di poco 1 fu necessario calcolare oltre 2000 zeri della funzione ζ con oltre 100 cifre di precisione.

 

Nel 2006 Tadej Kotnik e te Riele aumentarono il limite superiore a 1.2184 e ridussero quello inferiore a –1.229.

 

Nel 2010 Anreas Decker dimostrò che limite superiore di |M(n) / sqrt(n)| maggiore di 1.5.

 

Sebbene la congettura sia stata dimostrata falsa, la ricerca di un controesempio sembra piuttosto difficile; come termine di paragone, il massimo valore noto per n > 200 si ha per n = 7766842813: |M(7766842813) / sqrt(7766842813)| (H. Cohen e F. Dress, 1979); Tadej Kotnik e J. van der Lune estesero nel 2003 le ricerche sino a 1014, senza trovare valori superiori.

Nel 1987 J. Pintz dimostrò che almeno uno dei controesempi è minore di e3.21 • 1064, limite poi ridotto da Kotnik e te Riele a e1.59 • 1040 nel 2006 e a e1.004 • 1033 da Yannick Saouter e te Riele nel 2014, limiti ancora troppo grandi per poter sperare di raggiungerli con una ricerca esaustiva tramite calcolatore.

 

La congettura di Mertens è un classico esempio di un congettura plausibile, dimostrata falsa a dispetto di una grande mole di dati numerici che sembravano avvalorarla.

 

Resta però possibile che la congettura sia vera in una forma più debole, ossia che esista un limite superiore, ma maggiore di 1.

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