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Oblunghi (numeri)

Numeri figurati  Teoria dei numeri 

Si dicono “oblunghi” i numeri uguali al prodotto di due interi positivi consecutivi, ossia della forma n(n + 1), perché un rettangolo con lati di lunghezza uguale a due interi consecutivi è leggermente allungato, rispetto a un quadrato e questi numeri corrispondono all’area di un rettangolo del genere.

 

Lo studio di questi numeri è molto antico: risale alla scuola pitagorica e sono citati nella Metafisica di Aristotele.

Nella letteratura anglosassone il termine più comune è “pronic”, risalente almeno a Eulero, che potrebbe essere una trascrizione errata dal greco προμήκης (oblungo); alcune fonti sostengono infatti che si dovrebbe scrivere “promic”.

 

La figura seguente mostra i primi numeri oblunghi.

 

Raffigurazione dei numeri oblunghi

 

I numeri oblunghi sono il doppio dei numeri triangolari, perché On = n(n + 1) = 2Tn.

 

Possono essere calcolati anche con la ricorrenza On + 1 = On + 2(n + 1).

 

Per le somme dei numeri oblunghi e dei loro reciproci valgono le formule seguenti:

Formula per la somma di numeri oblunghi;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri oblunghi;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri oblunghi;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri oblunghi;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri oblunghi;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri oblunghi;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri oblunghi a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri oblunghi a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri oblunghi a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri oblunghi a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri oblunghi a segni alternati.

 

Alcune formule che coinvolgono i numeri oblunghi:

Formula per il calcolo dei numeri oblunghi;

Formula per il calcolo dei numeri oblunghi;

Formula per il calcolo dei numeri oblunghi, ovvero On è la somma dei primi n numeri pari;

Formula per il calcolo dei numeri oblunghi;

Formula per il calcolo dei numeri oblunghi;

OnOn + 1 = On(n + 2);

Formula che coinvolge i numeri oblunghi;

Formula per la somma dei reciproci dei primi n numeri oblunghi;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri oblunghi con indice dispari;

Formula la media armonica dei primi n numeri oblunghi, ovvero la media armonica dei numeri oblunghi da O1 a On è n + 1;

Formula che coinvolge i numeri oblunghi;

On ≡ 2 mod (n + 2);

Formula che coinvolge i numeri oblunghi.

 

Alcune proprietà dei numeri oblunghi:

fissato n, On – 1 è il massimo valore di k tale che k * n / (k + n) sia intero; per esempio, per n = 10, O9 = 90 è il massimo valore di k tale che 10 * k / (k + 10) sia intero;

i numeri oblunghi sono i valori di n per i quali l’equazione x moltiplicato per il massimo intero non superiore a x uguale a n non ha soluzioni (Melvin Peralta, 2016);

On è il massimo numero di regine dello stesso colore che possono essere disposte su una scacchiera (n + 2) × (n + 2) senza attaccare una regina di colore diverso (Bob Selcoe, 2015).

 

La funzione generatrice dei numeri oblunghi è 2 * x / (1 – x)^3 e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri oblunghi.

 

La tabella seguente mostra i numeri oblunghi fino a O20.

n

On

1

2

2

6

3

12

4

20

5

30

6

42

7

56

8

72

9

90

10

110

11

132

12

156

13

182

14

210

15

240

16

272

17

306

18

342

19

380

20

420

 

I numeri oblunghi sono in maggioranza abbondanti; le 5 eccezioni inferiori a 1000 sono; 2, 6, 110, 182 e 506; ve ne sono 175 inferiori a un milione e 5793 inferiori al miliardo, che trovate qui.

Pochissimi però sono abbondanti primitivi; gli unici inferiori al miliardo sono: 272, 650, 65792, 372710, 449570, 1621802, 2485352, 11219150, 15315482, 21054332, 38508230, 67100672, 75403172, 79307930, 81947756, 146930762, 250478102, 331549472, 360905006, 532155692, 568894052, 883605350.

Se p è un primo di Fermat maggiore di 3, n = p(p – 1) è oblungo e abbondante primitivo, perché n uguale a 2 elevato al massimo interno non superiore al logaritmo in base 2 di p, moltiplicato per p e n non è perfetto. Si conoscono però solo 4 primi di Fermat maggiori di 3 e potrebbero non esisterne altri.

 

Per n razionale il radicale continuo Radicale continuo è intero se e solo se n è oblungo: Radicale continuo.

 

Zhi-Wei Sun avanzò nel 2015 la congettura che ogni numero naturale sia rappresentabile come:

  • Ox + Oy + aOz, con a = 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9;

  • Ox + 2Oy + aOz, con a = 2 e 3.

 

Zhi-Wei Sun avanzò nel 2009 la congettura che ogni numero dispari sia rappresentabile come somma di un numero primo e un numero oblungo.

 

Zhi-Wei Sun avanzò nel 2009 la congettura che per ogni primo p > 11 esista una radice primitiva che è un numero oblungo.

 

L’unico numero oblungo primo è 2.

 

Wayne L. McDaniel dimostrò nel 1998 che gli unici numeri di Fibonacci oblunghi sono F0 = 0 e F3 = 2 e l’unico numero di Lucas (I) oblungo è L0 = 2, riscoprendo risultati pubblicati per la prima volta da L. Ming (1995).

 

Dato che i numeri oblunghi sono tutti pari, solo i numeri pari si possono esprimere come somma di numeri oblunghi; dato che sono il doppio dei numeri triangolari, tutte le considerazioni che valgono sull’espressione di un intero n come somma di numeri triangolari valgono sull’espressione di 2n come somma di numeri oblunghi. In particolare:

  • ogni intero positivo pari si può esprimere come somma di 3 numeri oblunghi (eventualmente nulli);

  • ogni intero positivo pari si può esprimere come somma di numeri oblunghi distinti, tranne: 4, 10, 16, 24, 46 e 66.

 

Sommando tre quadrati o tre numeri oblunghi non si possono rappresentare tutti i numeri naturali, tuttavia tutti possono essere rappresentati come somma di:

  • un quadrato e il doppio di due numeri triangolari, ossia un quadrato più due numeri oblunghi (Zhi-Wei Sun , 2007)

  • due quadrati e il doppio di un numeri triangolari, ossia due quadrati e un numero oblungo (Zhi-B. Kane e Zhi-Wei Sun, 2007);

  • un quadrato, il doppio di un altro e il doppio di un numere triangolare, ossia un quadrato, il doppio di un altro e un numero oblungo (Zhi-B. Kane e Zhi-Wei Sun, 2007);

  • un quadrato, il doppio di un altro e il quadruplo di un numero triangolare, ossia un quadrato, il doppio di un altro e il doppio di un numero oblungo (Zhi-B. Kane e Zhi-Wei Sun, 2007).

Altre rappresentazioni analoghe possono essere ricavate da quelle proposte da Zhi-Wei Sun come congetture, ricordando che un numero oblungo è il doppio di un numero triangolare.

 

Nel 2014 Bahir Farhi avanzò la congettura che ogni numero naturale possa essere rappresentato come Somma di tre massimi interi non superiori a x, y e z divisi per 2, con x, y e z quadrati od oblunghi.

Nel 2015 Zhi-Wei Sun ne propose una versione molto più forte: se a, b e c non sono una delle combinazioni { 1, 1, 1 }, { 1, 1, 3 }, { 1, 1, 7 }, { 1, 3, 3 }, { 3, 3, 3 }, ogni numero naturale può essere rappresentato come Somma di tre massimi interi non superiori a tre numeri oblunghi divisi per a, b e cMassimo intero non superiore a O(x) / a + O(y) / b più il massimo intero non superiore a O(z) / c e Massimo intero non superiore a O(x) / a più il massimo intero non superiore a O(y) / b + O(z) / c, per qualsiasi terna di interi positivi a, b e c, con abc; il matematico cinese dimostrò la congettura nel caso a = b = 1, c = 4 (v. congetture di Zhi-Wei Sun sulla rappresentazione dei numeri naturali come somme).

Zhi-Wei Sun propose inoltre le congetture che ogni numero naturale sia rappresentabile come:

  • Il massimo intero non superiore a O(x) / a + O(y) / b + O(z) / c, dimostrata dallo stesso matematico per a = b = c = 3;

  • Somma di tre minimi interi non inferiori a tre numeri oblunghi divisi per a, b e c, dimostrata dallo stesso matematico per a = b = c = 3;

  • Somma a * x^2 + b * y^2 più il massimo intero non superiore a O(x) / c, per qualsiasi terna di interi positivi a, b e c con c abbastanza grande;

  • Somma a * x^2 + b * y^2 più il minimo intero non inferiore a O(x) / c, per qualsiasi terna di interi positivi a, b e c con c abbastanza grande;

  • Somma di un primo più il massimo intero non superiore a O(x) / 4, con p primo.

 

Il matematico cinese dimostrò nel 2015 che ogni numero naturale può essere rappresentato come:

  • Somma di due quadrati più il massimo intero non superiore a O(z) / c, per c = 2, 3, 4 e 6;

  • Somma di O(x) + O(y) / 3 più il minimo intero non inferiore a O(z) / 3;

  • Il massimo intero non superiore a (O)x) + O(y) + O(z)) / a, per a > 1;

Tabelle numeriche

I numeri pronic fino a O1000.

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