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Curzon (numeri di)

Teoria dei numeri 

H.J. Tattersall definì “numeri di Curzon” i numeri naturali n tali che 2n + 1 divida 2n + 1. Per esempio, 6 è un numero di Curzon, perché 2 • 6 + 1 = 13 divide 26 + 1 = 65.

 

I numeri di Curzon inferiori a 1000 sono: 1, 2, 5, 6, 9, 14, 18, 21, 26, 29, 30, 33, 41, 50, 53, 54, 65, 69, 74, 78, 81, 86, 89, 90, 98, 105, 113, 114, 125, 134, 138, 141, 146, 153, 158, 165, 173, 174, 186, 189, 194, 198, 209, 210, 221, 230, 233, 245, 249, 254, 261, 270, 273, 278, 281, 285, 293, 306, 309, 321, 326, 329, 330, 338, 341, 345, 350, 354, 366, 369, 378, 386, 393, 398, 405, 410, 413, 414, 426, 429, 438, 441, 453, 470, 473, 485, 498, 506, 509, 510, 525, 530, 534, 545, 546, 554, 558, 561, 581, 585, 590, 593, 606, 614, 618, 629, 638, 641, 645, 650, 653, 686, 690, 713, 714, 725, 726, 729, 741, 746, 749, 761, 765, 774, 785, 789, 798, 806, 809, 810, 813, 818, 833, 834, 846, 849, 854, 861, 866, 870, 873, 893, 894, 905, 930, 933, 938, 950, 953, 965, 966, 974, 986, 989, 993, 998.

 

Qui trovate i numeri di Curzon inferiori a 106 (5.4 Mbyte) (M. Fiorentini, 2014).

 

Se n è un numero di Curzon, 2n + 1 è generalmente primo, ma non sempre; le sole eccezioni inferiori a 106 sono: 1638, 14670, 24570, 40290, 44178, 52326, 98046, 157410, 229494, 238485, 244998, 400302, 419430, 436590, 438549, 502326, 625974, 651225, 662921, 686826, 698709, 720545, 753981, 754854, 765393, 839270, 905786, 953925, 993510.

Il motivo è che 2n + 1 è un numero di Cunningham e i suoi fattori sono solo:

  • i fattori algebrici, della forma 2k + 1 con k divisore di nk / n dispari e i loro divisori;

  • i fattori aurifeulliani (22m + 1 + 2m + 1 + 1) e (22m + 1 – 2m + 1 + 1), se n = 4m + 2, e i loro divisori;

  • numeri primi della forma 2kn + 1.

Se 2n + 1 è composto, i suoi fattori primi non possono essere della terza forma, quindi tutti devono dividere i fattori algebrici o quelli aurifeulliani, fatto piuttosto raro.

Per esempio, nel caso n = 1638, i fattori primi di 2n + 1 = 3277 = 29 • 113 dividono i fattori aurifeulliani, perché 29 divide 2819 – 2410 + 1 e 113 divide 2819 + 2410 + 1. Analogamente nel caso n = 238485, i fattori primi di 2n + 1 = 476971 = 11 • 131 • 331 dividono i fattori algebrici, perché 11 divide 25 + 1, 131 divide 265 + 1 e 331 divide 215 + 1.

 

Qui trovate i numeri di Curzon n inferiori a 109 tali che 2n + 1 sia primo (M. Fiorentini, 2014).

 

Tra i numeri di Curzon si conoscono vari primi, quasi tutti primi di Sophie Germain; quelli inferiori a 1000 sono: 2, 5, 29, 41, 53, 89, 113, 173, 233, 281, 293, 509, 593, 641, 653, 761, 809, 953.

 

Qui trovate i numeri di Curzon primi inferiori a 108 (2 Mbyte) (M. Fiorentini, 2014).

 

Tra i numeri di Curzon si conoscono varie potenze, principalmente quadrati; quelle inferiori a 106 sono: 1, 9 = 32, 81 = 34, 125 = 53, 441 = 212, 729 = 36, 1089 = 332, 2025 = 452, 5625 = 752, 7569 = 872, 8649 = 932, 9261 = 213, 9801 = 992, 11025 = 1052, 15129 = 1232, 18225 = 1352, 23409 = 1532, 24389 = 293, 31329 = 1772, 35721 = 1892, 40401 = 2012, 47961 = 2192, 56169 = 2372, 65025 = 2552, 74529 = 2732, 81225 = 2852, 88209 = 2972, 103041 = 3212, 106929 = 3272, 123201 = 3512, 127449 = 3572, 140625 = 3752, 149769 = 3872, 154449 = 3932, 159201 = 3992, 164025 = 4052, 173889 = 4172, 178929 = 4232, 184041 = 4292, 185193 = 573, 194481 = 214, 233289 = 4832, 239121 = 4892, 269361 = 5192, 288369 = 5372, 308025 = 5552, 342225 = 5852, 356409 = 5972, 385641 = 6212, 400689 = 6332, 431649 = 6572, 456533 = 773, 480249 = 6932, 488601 = 6992, 497025 = 7052, 540225 = 7352, 576081 = 7592, 585225 = 7652, 613089 = 7832, 660969 = 8132, 670761 = 8192, 700569 = 8372, 720801 = 8492, 783225 = 8852, 804609 = 8972, 904401 = 9512, 927369 = 9632, 986049 = 9932.

Qui trovate i numeri di Curzon inferiori a 109 che sono potenze (M. Fiorentini, 2014).

 

Si chiamano “coppie di Curzon” i numeri di Curzon consecutivi; i numeri inferiori delle coppie fino a 1000 sono: 1, 5, 29, 53, 89, 113, 173, 209, 329, 413, 509, 545, 713, 725, 809, 833, 893, 965.

Qui trovate i numeri inferiori delle coppie di Curzon minori di 108 (1.9 Mbyte) (M. Fiorentini, 2014).

 

Il minimo quadrato magico formato da numeri di Curzon è il seguente.

113

341

65

125

173

221

281

5

233

 

Vedi anche

Numeri di Cunningham.

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