Rappresentazione in base φ

Rappresentazione dei numeri 

Tra le rappresentazioni dei numeri in basi irrazionali, la più interessante è quella in base φ; come la base 2 e tutte le basi maggiori di 1 e non maggiori di 2, essa permette di rappresentare tutti i numeri utilizzando solo le cifre 0 e 1.

 

In base φ gli interi hanno una rappresentazione finita, nonostante la base sia irrazionale, ma tutti i numeri razionali non interi hanno una rappresentazione infinita e periodica da una certa cifra in poi.

In generale la rappresentazione di ogni numero non è unica, ma si può rendere tale con condizioni aggiuntive, come imporre che non vi siano due 0 o due 1 consecutivi. Esiste, infatti, un’unica rappresentazione di ogni numero maggiore di zero some somma di potenze di φ, con esponenti sia positivi che negativi, nella quale non si utilizzino due potenze con esponenti consecutivi, quindi senza due 1 consecutivi, che è anche la rappresentazione col minimo numero di addendi. Viceversa la rappresentazione nella quale non si omettono dalla somma due potenze con esponenti consecutivi, quindi senza due 0 consecutivi, è quella col massimo numero di addendi, se non si vogliono aumentare artificiosamente le cifre dopo il punto decimale, sostituendo ripetutamente l’ultimo 1 con 011. La sequenza di cifre infinita 01010101… dopo il punto decimale equivale infatti alla sequenza 9999… nella notazione decimale e si evita, sostituendola col valore equivalente, cioè 1 nella posizione immediatamente a sinistra dell’inizio della sequenza.

 

La rappresentazione può essere scritta in forma analoga a quella binaria, indicando (posizionalemente) con 1 le potenze presenti e con 0 quelle assenti, nei due sensi a partire dal punto decimale. Così per esempio φ³ + φ¹ + φ⁰ + φ^–2 si può indicare con 1011.01_φ.

Per eliminare le coppie di 1 adiacenti bisogna sostituire ripetutamente le sequenze 011 con 100, mentre per eliminare le coppie di 0 adiacenti bisogna sostituire ripetutamente le sequenze 100 con 011.

 

La tabella seguente mostra le rappresentazioni degli interi da 1 a 20.

Intero	Somma di potenze	Rappresentazione senza due 1 consecutivi	Rappresentazione senza due 0 consecutivi
0	0	0φ	0φ
1	φ0	1φ	1φ
2	φ1 + φ–2	10.01φ	1.11φ
3	φ2 + φ–2	100.01φ	11.01φ
4	φ2 + φ0 + φ–2	101.01φ	11.1111φ
5	φ3 + φ–1 + φ–4	1000.1001φ	101.1111φ
6	φ3 + φ1 + φ–4	1010.0001φ	111.0111φ
7	φ4 + φ–4	10000.0001φ	1010.1101φ
8	φ4 + φ0 + φ–4	10001.0001φ	1011.1101φ
9	φ4 + φ1 + φ–2 + φ–4	10010.0101φ	1101.1101φ
10	φ4 + φ2 + φ–2 + φ–4	10100.0101φ	1111.0101φ
11	φ5 + φ2 + φ0 + φ–2 + φ–4	10101.0101φ	1111.111111φ
12	φ5 + φ–1 + φ–3 + φ–6	100000.101001φ	10101.111111φ
13	φ5 + φ1 + φ–3 + φ–6	100010.001001φ	10111.011111φ
14	φ5 + φ2 + φ–3 + φ–6	100100.001001φ	11010.110111φ
15	φ5 + φ2 + φ0 + φ–3 + φ–6	100101.001001φ	11011.110111φ
16	φ5 + φ3 + φ–1 + φ–6	101000.100001φ	11101.110111φ
17	φ5 + φ3 + φ1 + φ–6	101010.000001φ	11111.010111φ
18	φ6 + φ–6	1000000.000001φ	101010.101101φ
19	φ6 + φ0 + φ–6	1000001.000001φ	101011.101101φ
29	φ6 + φ1 + φ–2 + φ–6	1000010.010001φ	101101.101101φ

 

La rappresentazione è particolarmente semplice nel caso dei numeri di Fibonacci e di quelli di Lucas:

• ;

• ;

• L_2n = φ²ⁿ + φ^–2n;

• .

 

La tabella seguente mostra la rappresentazione (approssimata) in base φ di alcuni numeri irrazionali (Benoit Cloitre, Bryan Jacobs, Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Numero	Rappresentazione approssimata
	0.000010000100010100001010001010101000100101000001001000100000φ
	0.000010001010101000100000φ
	0.000010100000φ
	0.0000101010100000φ
	0.000100001010100101001000φ
	0.0001001010010010000010100000101010010001000010000010000000101000101010100001000001000001001010100010010100101… φ
	0.000100001010100101001000φ
	0.001000001000φ
	0.00101000φ
	0.010φ
	1.0100000101001010010000000101000000000101…φ
φ ≈ 1.6180339887	10φ
	1.0100000101001010010000000101000000000101…φ
	10.1φ
e ≈ 2.7182818285	100.000010000100100000000100001000100001001001000001010010001010010010010000100100001000010001001000001000…φ
π ≈ 3.1415926536	100.010010101001000101010100000101001000010010100010000010101010101000000100001010000100001010001001001000…φ
	10.0010010101010010101000000000001001000010101000000001000010000010000100101001000100101001000100010010000001010…φ
π2 ≈ 9.8696044011	10100.0100000010001000101001010101001001010100100001010001000100100001010001000100100000001010010101001000…φ

 

Le regole per la moltiplicazione sono quello solite, mentre per la somma vale 1_φ + 1_φ = 10.01_φ = 1.11_φ.

Vedi anche

φ.

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