Tra le rappresentazioni dei numeri in basi irrazionali, la più interessante è quella in base φ; come la base 2 e tutte le basi maggiori di 1 e non maggiori di 2, essa permette di rappresentare tutti i numeri utilizzando solo le cifre 0 e 1.
In base φ gli interi hanno una rappresentazione finita, nonostante la base sia irrazionale, ma tutti i numeri razionali non interi hanno una rappresentazione infinita e periodica da una certa cifra in poi.
In generale la rappresentazione di ogni numero non è unica, ma si può rendere tale con condizioni aggiuntive, come imporre che non vi siano due 0 o due 1 consecutivi. Esiste, infatti, un’unica rappresentazione di ogni numero maggiore di zero some somma di potenze di φ, con esponenti sia positivi che negativi, nella quale non si utilizzino due potenze con esponenti consecutivi, quindi senza due 1 consecutivi, che è anche la rappresentazione col minimo numero di addendi. Viceversa la rappresentazione nella quale non si omettono dalla somma due potenze con esponenti consecutivi, quindi senza due 0 consecutivi, è quella col massimo numero di addendi, se non si vogliono aumentare artificiosamente le cifre dopo il punto decimale, sostituendo ripetutamente l’ultimo 1 con 011. La sequenza di cifre infinita 01010101… dopo il punto decimale equivale infatti alla sequenza 9999… nella notazione decimale e si evita, sostituendola col valore equivalente, cioè 1 nella posizione immediatamente a sinistra dell’inizio della sequenza.
La rappresentazione può essere scritta in forma analoga a quella binaria, indicando (posizionalemente) con 1 le potenze presenti e con 0 quelle assenti, nei due sensi a partire dal punto decimale. Così per esempio φ3 + φ1 + φ0 + φ–2 si può indicare con 1011.01φ.
Per eliminare le coppie di 1 adiacenti bisogna sostituire ripetutamente le sequenze 011 con 100, mentre per eliminare le coppie di 0 adiacenti bisogna sostituire ripetutamente le sequenze 100 con 011.
La tabella seguente mostra le rappresentazioni degli interi da 1 a 20.
Intero |
Somma di potenze |
Rappresentazione senza due 1 consecutivi |
Rappresentazione senza due 0 consecutivi |
0 |
0 |
0φ |
0φ |
1 |
φ0 |
1φ |
1φ |
2 |
φ1 + φ–2 |
10.01φ |
1.11φ |
3 |
φ2 + φ–2 |
100.01φ |
11.01φ |
4 |
φ2 + φ0 + φ–2 |
101.01φ |
11.1111φ |
5 |
φ3 + φ–1 + φ–4 |
1000.1001φ |
101.1111φ |
6 |
φ3 + φ1 + φ–4 |
1010.0001φ |
111.0111φ |
7 |
φ4 + φ–4 |
10000.0001φ |
1010.1101φ |
8 |
φ4 + φ0 + φ–4 |
10001.0001φ |
1011.1101φ |
9 |
φ4 + φ1 + φ–2 + φ–4 |
10010.0101φ |
1101.1101φ |
10 |
φ4 + φ2 + φ–2 + φ–4 |
10100.0101φ |
1111.0101φ |
11 |
φ5 + φ2 + φ0 + φ–2 + φ–4 |
10101.0101φ |
1111.111111φ |
12 |
φ5 + φ–1 + φ–3 + φ–6 |
100000.101001φ |
10101.111111φ |
13 |
φ5 + φ1 + φ–3 + φ–6 |
100010.001001φ |
10111.011111φ |
14 |
φ5 + φ2 + φ–3 + φ–6 |
100100.001001φ |
11010.110111φ |
15 |
φ5 + φ2 + φ0 + φ–3 + φ–6 |
100101.001001φ |
11011.110111φ |
16 |
φ5 + φ3 + φ–1 + φ–6 |
101000.100001φ |
11101.110111φ |
17 |
φ5 + φ3 + φ1 + φ–6 |
101010.000001φ |
11111.010111φ |
18 |
φ6 + φ–6 |
1000000.000001φ |
101010.101101φ |
19 |
φ6 + φ0 + φ–6 |
1000001.000001φ |
101011.101101φ |
29 |
φ6 + φ1 + φ–2 + φ–6 |
1000010.010001φ |
101101.101101φ |
La rappresentazione è particolarmente semplice nel caso dei numeri di Fibonacci e di quelli di Lucas:
-
;
-
;
-
L2n = φ2n + φ–2n;
-
.
La tabella seguente mostra la rappresentazione (approssimata) in base φ di alcuni numeri irrazionali (Benoit Cloitre, Bryan Jacobs, Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
Numero |
Rappresentazione approssimata |
|
0.000010000100010100001010001010101000100101000001001000100000φ |
|
0.000010001010101000100000φ |
|
0.000010100000φ |
|
0.0000101010100000φ |
|
0.000100001010100101001000φ |
|
0.0001001010010010000010100000101010010001000010000010000000101000101010100001000001000001001010100010010100101… φ |
|
0.000100001010100101001000φ |
|
0.001000001000φ |
|
0.00101000φ |
|
0.010φ |
|
1.0100000101001010010000000101000000000101…φ |
φ ≈ 1.6180339887 |
10φ |
|
1.0100000101001010010000000101000000000101…φ |
|
10.1φ |
e ≈ 2.7182818285 |
100.000010000100100000000100001000100001001001000001010010001010010010010000100100001000010001001000001000…φ |
π ≈ 3.1415926536 |
100.010010101001000101010100000101001000010010100010000010101010101000000100001010000100001010001001001000…φ |
|
10.0010010101010010101000000000001001000010101000000001000010000010000100101001000100101001000100010010000001010…φ |
π2 ≈ 9.8696044011 |
10100.0100000010001000101001010101001001010100100001010001000100100001010001000100100000001010010101001000…φ |
Le regole per la moltiplicazione sono quello solite, mentre per la somma vale 1φ + 1φ = 10.01φ = 1.11φ.