Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Rappresentazione in base φ

Rappresentazione dei numeri 

Tra le rappresentazioni dei numeri in basi irrazionali, la più interessante è quella in base φ; come la base 2 e tutte le basi maggiori di 1 e non maggiori di 2, essa permette di rappresentare tutti i numeri utilizzando solo le cifre 0 e 1.

 

In base φ gli interi hanno una rappresentazione finita, nonostante la base sia irrazionale, ma tutti i numeri razionali non interi hanno una rappresentazione infinita e periodica da una certa cifra in poi.

In generale la rappresentazione di ogni numero non è unica, ma si può rendere tale con condizioni aggiuntive, come imporre che non vi siano due 0 o due 1 consecutivi. Esiste, infatti, un’unica rappresentazione di ogni numero maggiore di zero some somma di potenze di φ, con esponenti sia positivi che negativi, nella quale non si utilizzino due potenze con esponenti consecutivi, quindi senza due 1 consecutivi, che è anche la rappresentazione col minimo numero di addendi. Viceversa la rappresentazione nella quale non si omettono dalla somma due potenze con esponenti consecutivi, quindi senza due 0 consecutivi, è quella col massimo numero di addendi, se non si vogliono aumentare artificiosamente le cifre dopo il punto decimale, sostituendo ripetutamente l’ultimo 1 con 011. La sequenza di cifre infinita 01010101… dopo il punto decimale equivale infatti alla sequenza 9999… nella notazione decimale e si evita, sostituendola col valore equivalente, cioè 1 nella posizione immediatamente a sinistra dell’inizio della sequenza.

 

La rappresentazione può essere scritta in forma analoga a quella binaria, indicando (posizionalemente) con 1 le potenze presenti e con 0 quelle assenti, nei due sensi a partire dal punto decimale. Così per esempio φ3 + φ1 + φ0 + φ–2 si può indicare con 1011.01φ.

Per eliminare le coppie di 1 adiacenti bisogna sostituire ripetutamente le sequenze 011 con 100, mentre per eliminare le coppie di 0 adiacenti bisogna sostituire ripetutamente le sequenze 100 con 011.

 

La tabella seguente mostra le rappresentazioni degli interi da 1 a 20.

Intero

Somma di potenze

Rappresentazione senza due 1 consecutivi

Rappresentazione senza due 0 consecutivi

0

0

0φ

0φ

1

φ0

1φ

1φ

2

φ1 + φ–2

10.01φ

1.11φ

3

φ2 + φ–2

100.01φ

11.01φ

4

φ2 + φ0 + φ–2

101.01φ

11.1111φ

5

φ3 + φ–1 + φ–4

1000.1001φ

101.1111φ

6

φ3 + φ1 + φ–4

1010.0001φ

111.0111φ

7

φ4 + φ–4

10000.0001φ

1010.1101φ

8

φ4 + φ0 + φ–4

10001.0001φ

1011.1101φ

9

φ4 + φ1 + φ–2 + φ–4

10010.0101φ

1101.1101φ

10

φ4 + φ2 + φ–2 + φ–4

10100.0101φ

1111.0101φ

11

φ5 + φ2 + φ0 + φ–2 + φ–4

10101.0101φ

1111.111111φ

12

φ5 + φ–1 + φ–3 + φ–6

100000.101001φ

10101.111111φ

13

φ5 + φ1 + φ–3 + φ–6

100010.001001φ

10111.011111φ

14

φ5 + φ2 + φ–3 + φ–6

100100.001001φ

11010.110111φ

15

φ5 + φ2 + φ0 + φ–3 + φ–6

100101.001001φ

11011.110111φ

16

φ5 + φ3 + φ–1 + φ–6

101000.100001φ

11101.110111φ

17

φ5 + φ3 + φ1 + φ–6

101010.000001φ

11111.010111φ

18

φ6 + φ–6

1000000.000001φ

101010.101101φ

19

φ6 + φ0 + φ–6

1000001.000001φ

101011.101101φ

29

φ6 + φ1 + φ–2 + φ–6

1000010.010001φ

101101.101101φ

 

La rappresentazione è particolarmente semplice nel caso dei numeri di Fibonacci e di quelli di Lucas:

  • Rappresentazione di F(2n) in base φ;

  • Rappresentazione di F(2n + 1) in base φ;

  • L2n = φ2n + φ–2n;

  • Rappresentazione di L(2n + 1) in base φ.

 

La tabella seguente mostra la rappresentazione (approssimata) in base φ di alcuni numeri irrazionali (Benoit Cloitre, Bryan Jacobs, Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Numero

Rappresentazione approssimata

1 / 10

0.000010000100010100001010001010101000100101000001001000100000φ

1 / 9

0.000010001010101000100000φ

1 / 8

0.000010100000φ

1 / 7

0.0000101010100000φ

1 / 6

0.000100001010100101001000φ

π^2 / 50

0.0001001010010010000010100000101010010001000010000010000000101000101010100001000001000001001010100010010100101…

φ

1 / 5

0.000100001010100101001000φ

1 / 4

0.001000001000φ

1 / 3

0.00101000φ

1 / 2

0.010φ

sqrt(2)

1.0100000101001010010000000101000000000101…φ

φ ≈ 1.6180339887

10φ

2 + sqrt(5) / 13

1.0100000101001010010000000101000000000101…φ

sqrt(5)

10.1φ

e ≈ 2.7182818285

100.000010000100100000000100001000100001001001000001010010001010010010010000100100001000010001001000001000…φ

π ≈ 3.1415926536

100.010010101001000101010100000101001000010010100010000010101010101000000100001010000100001010001001001000…φ

4 / sqrt(φ)

10.0010010101010010101000000000001001000010101000000001000010000010000100101001000100101001000100010010000001010…φ

π2 ≈ 9.8696044011

10100.0100000010001000101001010101001001010100100001010001000100100001010001000100100000001010010101001000…φ

 

Le regole per la moltiplicazione sono quello solite, mentre per la somma vale 1φ + 1φ = 10.01φ = 1.11φ.

Vedi anche

φ.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.