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Curiosi (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Sono talvolta chiamati “curiosi” i numeri naturali uguali alla somma dei fattoriali delle loro cifre.

 

Appartengono alla categoria:

  • 1, in qualsiasi base;

  • 2, in qualsiasi base;

  • i numeri della forma 2n! in base 2(n – 1)! – 1 e più in generale i numeri della forma kn! in una base nella quale la rappresentazione sia costituita da k volte n;

  • i numeri della forma n! + 1 in base (n – 1)! e più in generale i numeri della forma kn! + 1 in una base nella quale la rappresentazione sia costituita da un 1 o uno 0 e k volte n, come i numeri della forma n! + 1 in base n! – n + 1;

  • i numeri della forma n! + 2 in base (n – 1)! e più in generale i numeri della forma kn! + 2 in una base nella quale la rappresentazione sia costituita da un 2 e k volte n, come i numeri della forma n! + 2 in base Formula per la base.

A parte questi casi sono pochissimi e in numero finito in qualsiasi base; per esempio, in base 10 sono solo due: 145 = 1! + 4! + 5! e 40585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5! (scoperto da R. Dougherty, 1964).

Ve ne sono infiniti con questa proprietà in basi diverse: 1, 2 e i numeri delle forme kn!, kn! + 1 e kn! + 2; a parte questi non conosco però altri casi.

 

La tabella seguente riporta i numeri inferiori a 109 uguali alla somma dei fattoriali delle cifre nelle basi da 2 a 20 (M. Fiorentini, 2015); l’elenco comprende sicuramente tutti i numeri del genere nelle basi fino a 12.

Base

Numeri uguali alla somma dei fattoriali delle cifre

2

12 = 1, 102 = 2

3

13 = 1, 23 = 2

4

14 = 1, 24 = 2, 134 = 7

5

15 = 1, 25 = 2, 1445 = 49

6

16 = 1, 26 = 2, 416 = 25, 426 = 26

7

17 = 1, 27 = 2

8

18 = 1, 28 = 2

9

19 = 1, 29 = 2, 625589 = 41282

10

1, 2, 145, 40585

11

111 = 1, 211 = 2, 2411 = 26, 4411 = 48, 2845311 = 40472

12

112 = 1, 212 = 2

13

113 = 1, 213 = 2, 83790C5B13 = 519326767

14

114 = 1, 214 = 2

15

115 = 1, 215 = 2, 66115 = 1441, 66215 = 1442

16

116 = 1, 216 = 2

17

117 = 1, 217 = 2, 840517 = 40465

18

118 = 1, 218 = 2

19

119 = 1, 219 = 2

20

120 = 1, 220 = 2

 

Analogamente esistono numeri uguali alla somma dei quadrati dei fattoriali delle loro cifre, ma sempre in numero finito. Per esempio 1337 = 73 = 1!2 + 3!2 + 3!2.

Appartengono alla categoria:

  • 1, in qualsiasi base;

  • i numeri della forma 2n!2 in base 2(n – 1)!n! e più in generale i numeri della forma kn!2 in una base nella quale la rappresentazione sia costituita da k volte n;

  • i numeri della forma n!2 + 1 in base (n – 1)!n! e più in generale i numeri della forma kn!2 + 1 in una base nella quale la rappresentazione sia costituita da un 1 o uno 0 e k volte n, come i numeri della forma n!2 + 1 in base n!2n + 1.

Ve ne sono infiniti con questa proprietà in basi diverse: 1, 2 e i numeri delle forme kn! e kn! + 1; a parte questi non conosco però altri casi.

 

La tabella seguente riporta i numeri inferiori a 109 uguali alla somma dei quadrati dei fattoriali delle cifre nelle basi da 2 a 20 (M. Fiorentini, 2015); l’elenco comprende sicuramente tutti i numeri del genere nelle basi fino a 8.

Base

Numeri uguali alla somma dei quadrati dei fattoriali delle cifre

2

12 = 1, 102 = 2

3

13 = 1, 123 = 5, 223 = 8

4

14 = 1

5

15 = 1

6

16 = 1, 24106 = 582

7

17 = 1, 1337 = 73, 116402567 = 1051783

8

18 = 1, 1407540048 = 25417732, 1410057058 = 25417732

9

19 = 1

10

1

11

111 = 1

12

112 = 1, 3112 = 37, 43112 = 613, 21043612 = 519018

13

113 = 1

14

114 = 1

15

115 = 1

16

116 = 1

17

117 = 1

18

118 = 1

19

119 = 1

20

120 = 1

 

Nel 1979 J.S. Madachy scoprì che 148349 è l’unico intero uguale alla somma dei subfattoriali delle sue cifre, in base 10.

La tabella seguente riporta i numeri inferiori a 109 uguali alla somma dei subfattoriali delle cifre nelle basi da 2 a 20 (M. Fiorentini, 2016); l’elenco comprende sicuramente tutti i numeri del genere nelle basi fino a 12.

Base

Numeri uguali alla somma dei subfattoriali delle cifre

2

102 = 2

3

-

4

-

5

145 = 9

6

-

7

-

8

-

9

509 = 45

10

148349

11

92368A11 = 1483558

12

4512 = 53, 4B0204012 = 14684592

13

3836A513 = 1350107

14

3749414 = 135370, 2A895614 = 1483600

15

3AA08915 = 2818254, 10A8C5A615 = 178899906

16

-

17

308517 = 14880

18

-

19

-

20

2520 = 45

 

Il fatto che in ogni base i numeri di queste categorie siano in numero finito non è altro che un caso particolare di un teorema dimostrato da Schwartz nel 1973 (v. numeri di Armstrong).

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