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Primi di Mills

Sequenze  Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi di Mills” i numeri primi della sequenza che inizia con 2 e prosegue prendendo ogni volta il minimo primo maggiore del cubo del precedente. La sequenza ottenuta inizia quindi con: 2, 11, 1361, 2521008887, 16022236204009818131831320183, 4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499.

Il nome deriva dal fatto che sono i primi utilizzati nel calcolo della costante di Mills.

 

La sequenza è stata inseguita sino a un primo di oltre mezzo milione di cifre (Serge Balatov, 2013), che all’epoca della sua scoperta era il massimo primo “generico” (ossia non di una forma particolare come i primi di Mersenne o di Fermat) noto. Più precisamente, iniziando con b1 = 2, la sequenza è definita come b(n + 1) = b(n)^3 + a(n) e i valori di an sono: 3, 30, 6, 80, 12, 450, 894, 3636, 70756, 97220, 66768, 300840, 1623568, dove gli ultimi tre valori corrispondono a primi probabili. Questo significa che si può esprimere il quattordicesimo primo di Mills come ((((((((((((23 + 3)3 + 30)3 + 6)3 + 80)3 + 12)3 + 450)3 + 894)3 + 3636)3 + 70756)3 + 97220)3 + 66768)3 + 300840)3 + 1623568 e gli altri rimpicciolendo via via l’espressione.

Qui trovate i primi di Mills noti.

 

Se si potesse dimostrare che esiste sempre un primo tra due quadrati consecutivi, come molti ritengono, si potrebbe ridurre l’esponente nella definizione della costante a 2; la sequenza di primi da utilizzare per il calcolo sarebbe in questo caso: 2, 5, 29, 853, 727613, 529420677791, 280286254072681840639693, 78560384222095957698731679318817728959447134363, dove ciascun primo dopo 2 è il minimo superiore al quadrato del precedente.

Qui trovate la sequenza dei minimi primi noti, ciascuno maggiore del quadrato del precedente (Labos Elmer e Charles R. Greathouse IV, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

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