Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Eisenstein – Mersenne (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Eisenstein – Mersenne” gli interi di Eisenstein della forma En = (1 – ω)n – 1. Il nome deriva dal fatto che hanno una forma analoga ai numeri di Mersenne, ma con 1 – ω al posto di 2.

 

La norma di un numero di Eisenstein – Mersenne N(En) = EnEn è un numero intero.

Per n pari e multiplo di 3 la norma si può calcolare come Formula per la norma di E(n) e per n pari e non multiplo di 3 come Formula per la norma di E(n).

Per n dispari e maggiore di 3 la norma si può calcolare come Formula per la norma di E(n), dove Simbolo di Jacobi (3 | n) è il simbolo di Jacobi, o Formula per la norma di E(n)

 

Se d divide n, Ed divide En e N(Ed) divide N(En), quindi N(En) può essere primo solo se n è primo.

 

Nel 2010 Pedro Berrizbeitia e Boris Iskra dimostrarono che, se p è primo e maggiore di 3:

  • i divisori di N(Ep) sono della forma 6k + 1;

  • N(Ep) è primo se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché N(E(n)) sia primo;

  • N(Ep) è primo se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché N(E(n)) sia primo.

Partendo dalle due congruenze sopra riportate, si arriva a metodi efficienti per decidere se N(Ep) è primo, analoghi a quello di Lucas per i numeri di Mersenne.

 

Si conoscono 25 valori di p tali che N(Ep) sia primo: 2, 5, 7, 11, 17, 19, 79, 163, 193, 239, 317, 353, 659, 709, 1049, 1103, 1759, 2029, 5153, 7541, 9049, 10453, 23743, 255361, 534827.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.