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Mersenne gaussiani (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Mersenne gaussiani” i numeri della forma bn – 1, dove b è un intero di Gauss.

 

Tra essi sono stati cercati naturalmente i numeri primi; come nel caso degli interi comuni, un numero di questa forma è divisibile per b – 1, quindi può essere primo solo se b – 1 è un’unità. Nel caso degli interi gaussiani, però, le unità sono 4, quindi bisogna affrontare separatamente i 4 casi:

  • per b – 1 = 1 abbiamo i primi di Mersenne;

  • per b – 1 = –1 abbiamo b = 0 e quindi nessun primo;

  • per b – 1 = ±i abbiamo coppie di interi coniugati della forma z = (±1 + i)n – 1, che sono primi se e solo se n = 2 o la norma Formula per la norma dei numeri di Mersenne gaussiani z(n) per n dispari per n dispari è un numero primo; questi si chiamano “primi di Mersenne gaussiani”.

 

Molti Autori limitano la definizione di Numeri di Mersenne gaussiani ai numeri della forma (1 ± i)n – 1 o anche ai soli numeri della forma Mn =(1 + i)n – 1, dato che, a meno di cambiamenti di segni e coniugazione, i primi di Mersenne gaussiani sono esclusivamente di questa forma.

La norma N(Mn) di un numero di Mersenne gaussiano ha alcune proprietà che facilitano la ricerca dei fattori e gli esami di primalità. Infatti, per p primo:

  • Formula per la norma dei numeri di Mersenne gaussiani M’(p) per p primo, dove Simbolo di Legendre (2 | p) è il simbolo di Legendre;

  • i divisori di N(Mp) sono della forma 4kp + 1;

  • N(Mp) ≡ 1 mod 8 per p > 3;

  • se p è della forma 4k + 1, N(Mp) è primo se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché N(M’(n)) sia primo (Pedro Berrizbeitia e Boris Iskra, 2010);

  • se p è della forma 4k + 3, N(Mp) è primo se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché N(M’(n)) sia primo (Pedro Berrizbeitia e Boris Iskra, 2010);

  • se p è della forma 4k + 3, N(Mp) è primo se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché N(M’(n)) sia primo (Pedro Berrizbeitia e Boris Iskra, 2010);

  • se p è della forma 8k + 1 o 8k + 3, N(Mp) è primo se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché N(M’(n)) sia primo (Pedro Berrizbeitia e Boris Iskra, 2010);

  • se p è della forma 8k + 5 o 8k + 7, N(Mp) è primo se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché N(M’(n)) sia primo (Pedro Berrizbeitia e Boris Iskra, 2010);

  • N(Mp) può essere rappresentato come x2 + dy2, con x, y interi e d intero positivo non multiplo di quadrati della forma 4k + 1, se e solo se N(Mp) può essere rappresentato come x2 + 2dy2 e in particolare N(Mp) può essere rappresentato come x2 + y2 e come x2 + 2y2, per p > 3;

  • N(Mp) può essere rappresentato come x2 + 3y2 e come x2 + 6y2, con x, y interi, se p ≡ 1 mod 8 o p ≡ 3 mod 8;

  • N(Mp) può essere rappresentato come x2 + 5y2 e come x2 + 10y2, con x, y interi, se p ≡ 1 mod 8 o p ≡ 5 mod 8;

  • N(Mp) può essere rappresentato come x2 + 7y2, con x e y interi, se Condizione necessaria perché N(M’(n)) sia rappresentabile come x^2 + 7 * y^2, dove Simbolo di Legendre (–7 | p) è il simbolo di Legendre, e in particolare se p ≡ ±1 mod 8.

 

Nel 1969 Mike Oakes dimostrò che un numero di Mersenne gaussiano Mn con n dispari e maggiore di 3 è primo se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché M’(n) sia primo, dove Formula per la definizione di m. Questo esame di primalità, analogo a quello di Lucas per i primi di Mersenne, permette di esaminare rapidamente numeri anche molto grandi.

 

Si conoscono solo 37 primi di Mersenne gaussiani, corrispondenti ai seguenti valori di n: 2, 3, 5, 7, 11, 19, 29, 47, 73, 79, 113, 151, 157, 163, 167, 239, 241, 283, 353, 367, 379, 457, 997, 1367, 3041, 10141, 14699, 27529, 49207, 77291, 85237, 106693, 160423, 203789, 364289, 991961 e 1203793.

 

Sono stati studiati anche perché compaiono nelle fattorizzazioni aurifeulliane 24n + 2 + 1 = (22n + 1 + 2n + 1 + 1)(22n + 1 – 2n + 1 + 1) (v. anche numeri di Fermat).

 

La tabella seguente mostra i numeri di Mersenne gaussiani Mn e la loro norma, per n da 1 a 20.

n

Mn

N(Mn)

1

i

1

2

–1 + 2i

5

3

–3 + 2i

13

4

–5

25

5

–5 – 4i

41

6

–1 – 8i

65

7

7 – 8i

113

8

15

225

9

15 + 16i

481

10

–1 + 32i

1025

11

–33 + 32i

2113

12

–65

4225

13

–65 – 64i

8321

14

–1 – 128i

16385

15

127 – 128i

32513

16

255

65025

17

255 + 256i

130561

18

–1 + 512i

262145

19

–513 + 512i

525313

20

–1025

1050625

 

Bibliografia

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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