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Masser – Gramain (costante di)

Analisi 

Data una funzione f analitica in tutti i punti finiti del piano complesso, che assuma valori interi per tutti gli interi positivi, quali condizioni aggiuntive servono per poter stabilire che è un polinomio?

G. Pólya dimostrò nel 1915 che basta che Condizione che deve essere verificata perché f sia un polinomio, dove Mr(f) è l’estremo superiore del modulo dei valori della funzione per argomenti (complessi) di valore assoluto non superiore a r. In altri termini, la funzione non deve crescere “troppo velocemente”.

Il limite di Pólya è il migliore possibile, perché esistono controesempi per valori inferiori.

La funzione 2z fornisce invece un esempio di funzione che soddisfa le rimanenti condizioni e ha limite uguale a log2 e non è un polinomio.

 

Supponiamo ora che la funzione assuma valori che sono interi di Gauss per tutti gli argomenti uguali a interi di Gauss del piano complesso: si può trovare una condizione analoga per stabilire che è un polinomio?

S. Fukasawa dimostrò nel 1926 che vale un teorema analogo, ossia che esiste una costante positiva α tale che basta che Condizione che deve essere verificata perché f sia un polinomio, perché f sia un polinomio. Considerando la distribuzione degli interi di Gauss nel piano, il quadrato a denominatore non sorprende poi molto.

Restava il problema di determinare la costante; il primo progresso arrivò nel 1980, quando D.W. Masser dimostrò che doveva essere non superiore a Valore massimo per α e almeno pari a Valore minimo per α, dove ω̃ è la costante della lemniscata, S è la costante di Sierpiňski e δ è la costante di Masser – Gramain, definita come una sorta di generalizzazione bidimensionale di γ. Infatti Formula per la definizione di δ, dove rk è il raggio del più piccolo cerchio che contiene almeno k interi di Gauss distinti nel piano complesso.

 

Il calcolo di δ è estremamente difficile, perché non si conosce alcun’altra formula per la costante e utilizzare la sua definizione comporta il calcolo di rk per molti valori di k: bisognerebbe arrivare a 50000 miliardi per stimare δ con quattro cifre decimali di precisione.

Si sa che Valore di r(2), Valore di r(3) e r(4)Limiti inferiore e superiore per il valore di r(k)Limite inferiore per il valore di r(k) per k > 5, ma questi limiti non consentono una stima abbastanza precisa di δ.

 

Nel 1981 Gramain risolse infine il problema originale, dimostrando che Valore di δ, ma il problema del calcolo di δ con una buona precisione rimane aperto.

 

F. Gramain e M. Weber nel 1987 calcolarono che δ è compresa tra 1.811447299 e 1.897327117.

Lo stesso Gramain ipotizzò che δ = 1 + S ≈ 1.8228252497, ma nel 2013 Guillaume Melquiond, W. Georg Nowak e Paul Zimmerman calcolarono che 1.819776 < δ < 1.819833, smentendo l’ipotesi.

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