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Unicità dei numeri di Markoff (congettura della)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura dell’unicità dei numeri di Markoff, proposta da Ferdinand Georg Frobenius (Charlottenburg, Germania, 26/10/1849, Berlino, 3/8/1917) nel 1913, afferma che non esistono due triple di Markoff distinte con lo stesso valore massimo, ossia che non esistono due soluzioni distinte dell’equazione x2 + y2 + z2 = 3xyz con lo stesso valore della massima tra le tre variabili.

Si suole normalizzare le triple in modo che xyz.

 

La congettura è stata verificata per tutti i valori di z fino a m1046858 ≈ 6.2763 • 101044.

 

La congettura è stata dimostrata in alcuni casi particolari:

  • se z è una potenza di un primo dispari;

  • se z è il doppio di una potenza di un primo dispari;

  • se uno tra 3z – 2 e 3z + 2 è una potenza di un primo, il doppio o il quadruplo di una potenza di un primo (Zheng, 2007);

  • se uno tra 3z – 2 e 3z + 2 è una potenza di un primo moltiplicata per un intero non superiore a 1010 (Feng-Juan Cheng).

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