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Mandelbrot (costante di)

Analisi  Geometria  Vari 

Benoit Mandelbrot scoprì nel 1980 un insieme dalle proprietà sorprendenti partendo dalla semplice ricorrenza x0 = 0, Ricorrenza per la definizione dell’insieme di Mandelbrot Per quasi tutti i valori complessi di z si ottiene una sequenza di numeri, i valori assoluti dei quali a un certo punto diventano rapidamente crescenti, ma per alcuni valori di z i valori assoluti dei numeri della sequenza restano sempre inferiori a 2: tali punti formano l’insieme di Mandelbrot, mostrato in nero nella figura seguente.

 

Raffigurazione dell’insieme di Mandelbrot

 

 

L’insieme è stato in un certo senso l’archetipo dei frattali e ha stimolato le ricerche nel settore; con varie tecniche di colorazione ne sono state ricavate immagini a colori sorprendenti e gradevoli, che ne hanno facilitato la divulgazione. L’insieme contiene infinite “copie” in miniatura di se stesso, in realtà lievemente diverse le une dalle altre, archi, spirali, in una complessità infinita di forme.

 

Adrien Douady e Hohn H. Hubbard dimostrarono nel 1984 che, contrariamente all’opinione di Mandelbrot, l’insieme è connesso, tuttavia non è noto se sia connesso per archi, cioè se si possa tracciare un percorso tra due punti qualsiasi dell’insieme senza uscire dall’insieme stesso. L’insieme contiene tra gli altri tutti i punti dell’asse reale nell’intervallo Intervallo di punti dell’asse reale contenuti nell’insieme di Mandelbrot e un cerchio, con centro nell’origine e raggio Raggio di un cerchio contenuto nell’insieme di Mandelbrot.

 

Il suo perimetro è un frattale con dimensione di Hausdorff 2 (Mitsuhiro Shishikura, 1994), quindi ha lunghezza infinita, ma la sua area, che propongo di chiamare “costante di Mandelbrot”, è finita. Non se ne conosce alcuna espressione in termini di costanti note o frazioni continue, ma solo un’approssimazione numerica: si stima, infatti, che sia compresa tra 1.5065918306 e 1.5065918814.

Il baricentro si trova sull’asse delle ascisse, con coordinata x compresa tra –0.28676842 e –0.28676812. Queste stime sono però state ottenute tramite conteggio di quadratini contenuti nell’insieme e sono viste con un certo sospetto dai teorici.

 

Si conosce una serie, con termini piuttosto complicati, che in teoria permette di calcolare il valore della costante, ma non è di nessuna utilità pratica, perché la convergenza è così lenta che servirebbero 10118 termini per calcolare due cifre dopo la virgola e 101181 per arrivare a tre.

Per una sua determinazione precisa serviranno probabilmente metodi nuovi, al momento neppure ipotizzabili, che tuttavia potrebbero schiudere la porta a un’area inesplorata, capace di arricchire di nuove perle la matematica.

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