Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Robbins (costante di)

Geometria  Probabilit√† e statistica 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Distanze medie in altre figure geometriche

Il problema del calcolo della distanza media tra due punti presi a caso può essere esteso ad altre figure geometriche.

 

Nel caso di un triangolo generico non si conosce una formula che dia la distanza in funzione dei lati, tuttavia si conoscono formule per casi particolari:

  • per il triangolo rettangolo isoscele con cateti di lunghezza unitaria, la distanza media è Distanza media tra due punti in un triangolo rettangolo isoscele (M. Trott, 2004);
  • per il triangolo rettangolo con lati di lunghezza 3, 4 e 5 è Distanza media tra due punti in un triangolo con lati di lunghezza 3, 4 e 5 (Eric W. Weisstein, 2004);
  • per il triangolo rettangolo con angoli di 30°, 60° e 90° (ossia mezzo triangolo equilatero) e ipotenusa di lunghezza 1 è Distanza media tra due punti in un triangolo con angoli di 30°, 60° e 90° e ipotenusa di lunghezza 1 (Eric W. Weisstein, 2004);
  • per il triangolo equilatero con lati unitari è Distanza media tra due punti in un triangolo equilatero (Eric W. Weisstein, 2004).

 

Se i punti sono scelti entro una sfera di raggio 1, la densità di probabilità Pn(d) si ottiene tramite un’espressione complicata, che si può esprimere tramite funzioni elementari solo per le prime dimensioni:

  • Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a d;
  • Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a d;
  • Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a d;
  • Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a d.

La figura seguente mostra le densità di probabilità per i casi da 1 a 4 dimensioni.

 

Grafico delle densità di probabilità della distanza in una sfera

 

 

Le corrispondenti distanze medie D(n) si possono calcolare come Distanza media tra due punti in una sfera; il risultato è un multiplo razionale di 1 / π per d pari e un numero razionale per d dispari e tende a sqrt(2) al crescere di n.

La tabella seguente mostra le distanze medie, per n fino a 20.

n

D(n)

1

Distanza media tra due punti in un segmento

2

Distanza media tra due punti in un cerchio

3

Distanza media tra due punti in una sfera

4

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 4 dimensioni

5

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 5 dimensioni

6

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 6 dimensioni

7

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 7 dimensioni

8

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 8 dimensioni

9

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 9 dimensioni

10

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 10 dimensioni

11

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 11 dimensioni

12

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 12 dimensioni

13

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 13 dimensioni

14

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 14 dimensioni

15

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 15 dimensioni

16

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 16 dimensioni

17

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 17 dimensioni

18

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 18 dimensioni

19

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 19 dimensioni

20

Distanza media tra due punti in un’ipersfera a 20 dimensioni

 

D(1) corrisponde alla distanza media in un segmento di lunghezza 2; D(2) si può anche calcolare come Formula per il calcolo di D(2).

 

Nel caso di un semicerchio la media è Distanza media tra due punti in un semicerchio.

 

Nel caso di un quarto di cerchio la media è Distanza media tra due punti in un quarto di cerchio.

 

La densità di probabilità di avere una distanza d tra due punti scelti a caso sulla superficie di una sfera a n dimensioni di raggio 1 è Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a d, per n > 1, che equivale a Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a d per n pari e Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a d per n dispari.

In 2 e 3 dimensioni la probabilità aumenta all’aumentare della distanza (linearmente in 3 dimensioni), mentre per n > 2 raggiunge un massimo per Valore di d che rende massima la densità di probabilità, come mostra il grafico seguente delle densità di probabilità nelle dimensioni da 1 a 5.

Grafico delle densità di probabilità della distanza tra due punti sulla superficie di una sfera

 

In qualsiasi numero di dimensioni la mediana, ossia il valore di d tale che la probabilità di avere distanze superiori sia uguale alla probabilità di avere distanze inferiori, è sqrt(2), mentre il valor medio della distanza è Distanza media tra due punti sulla superficie di una sfera, che è un multiplo razionale di 1 / π per d pari, di 1 / sqrt(π) per d dispari e che tende a zero al crescere di n.

La tabella seguente mostra le distanze medie, per n fino a 20.

n

D(n)

2

Distanza media tra due punti su una circonferenza

3

Distanza media tra due punti sulla superficie di una sfera

4

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 4 dimensioni

5

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 5 dimensioni

6

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 6 dimensioni

7

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 7 dimensioni

8

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 8 dimensioni

9

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 9 dimensioni

10

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 10 dimensioni

11

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 11 dimensioni

12

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 12 dimensioni

13

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 13 dimensioni

14

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 14 dimensioni

15

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 15 dimensioni

16

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 16 dimensioni

17

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 17 dimensioni

18

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 18 dimensioni

19

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 19 dimensioni

20

Distanza media tra due punti sulla superficie di un’ipersfera a 20 dimensioni

 

La densità di probabilità di avere una distanza d tra un punto interno e uno sulla superficie di una sfera di raggio 1 è Densità di probabilità di avere una distanza uguale a d, la media è Distanza media tra un punto sulla superficie di una sfera e uno interno e la varianza Varianza della distanza tra un punto sulla superficie di una sfera e uno interno.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.