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Robbins (costante di)

Geometria  Probabilit√† e statistica 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Distanze medie in altre figure geometriche

La distanza media tra due punti presi a caso in un cubo di spigolo unitario si chiama “costante di Robbins”, dal nome del matematico americano David Peter Robbins (Brooklyn 12/8/1942 – Princeton, USA, 4/9/2003).

 

Il problema del calcolo della distanza media tra due punti in un cubo, come altri analoghi, è concettualmente semplice, nel senso che la soluzione si esprime con relativa facilità in termini di integrali; la rappresentazione del risultato in termini di costanti e funzioni elementari passa però attraverso una gran numero di fastidiosi calcoli.

 

La distanza media tra due punti scelti a caso in un ipercubo a n dimensioni di spigolo unitario si trova tramite la formula Formula per la distanza media tra due punti scelti a caso in un ipercubo a n dimensioni, dove il numero di integrali è 2n; in tutte le dimensioni il valore è compreso tra Valore minimo della distanza media tra due punti scelti a caso in un ipercubo a n dimensioni e Valore massimo della distanza media tra due punti scelti a caso in un ipercubo a n dimensioni.

La distanza media si può esprimere in termini di costanti elementari solo fino a 3 dimensioni:

  • Valore di D(1) in un segmento di lunghezza unitaria;
  • Valore di D(2) in un quadrato di lato unitario, con varianza Varianza della distanza in un quadrato;
  • Valore di D(3), ossia la costante di Robbins, in un cubo di spigolo unitario (Robbins, 1978).

 

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante di Robbins (Simon Plouffe).

 

La tabella seguente mostra la distanza media in n dimensioni, per n da 1 a 8 (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org).

n

D(n)

1

 

2

0.5214054331647206783309823566072439749140315677790083417962105187505078933048158318679281329252614525

3

0.6617071822671762351558311332484135817464001357909536048089442294795846461385976313066524807681071202

4

0.7776656535862671153379340946178195099628827244171330580234459648650573531592654011461516568931681885

5

0.8785309152674802771789167963362247495118969910897683251376162909611903799327949972543463494842970111

6

0.9689420830367467728060658946668998649945711532713998177258046433716722812520783658332238668906844993

7

1.0515838734368517758582121130817525668095628199127617219293863481118640794510737104770502618969404575

8

1.1281653402412599846612009394532321854563251231539804097940714333981430537331000164158380650316945397

 

La densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x è:

  • in 2 dimensioni 2x(x2 – 4x + π), per 0 ≤ x ≤ 1, e Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per 1 ≤ x ≤ sqrt(2) (M. Trott, 2004);
  • in 3 dimensioni x2(x2(8 – x) – π(6x – 4)), per x ≤ 1, Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per 1 ≤ x ≤ sqrt(2), Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per sqrt(2) ≤ x ≤ sqrt(3) (A.M. Mathai, P. Moschopoulos, e G. Pederzoli, 1999).

 

La figura seguente mostra il grafico della densità di probabilità della distanza in un quadrato.

 

Grafico della densità di probabilità della distanza in un quadrato

 

La figura seguente mostra il grafico della densità di probabilità della distanza in un cubo.

 

Grafico della densità di probabilità della distanza in un cubo

 

 

Se i punti sono scelti sul contorno della figura, la distanza media diventa:

  • 1 per il segmento;
  • Distanza media tra punti su lati adiacenti di un quadrato per il quadrato, se i punti sono scelti su lati adiacenti;
  • Distanza media tra punti su lati opposti di un quadrato per il quadrato, se i punti sono scelti su lati opposti;
  • Distanza media tra punti su lati distinti di un quadrato, per il quadrato, se i punti sono scelti su lati distinti;
  • Distanza media tra punti su lati di un quadrato per il quadrato, se i punti sono scelti sui lati;
  • Distanza media tra punti su facce adiacenti di un cubo per il cubo, se i punti sono scelti su facce adiacenti (A.M. Mathai, P. Moschopoulos, e G. Pederzoli, 1999);
  • Distanza media tra punti su facce opposte di un cubo per il cubo, se i punti sono scelti su facce opposte (A.M. Mathai, P. Moschopoulos, e G. Pederzoli, 1999);
  • Distanza media tra punti su facce distinte di un cubo per il cubo, se i punti sono scelti su facce distinte (J. Borwein e D. Bailey, 2003);
  • Distanza media tra punti sulle facce di un cubo per il cubo, se i punti sono scelti sulle facce;
  • Distanza media tra un punto sulle facce e uno interno di un cubo per il cubo, se un punto è scelto sulle facce e l’altro nell’interno del cubo.

 

La densità di probabilità della distanza nel caso di punti su facce opposte di un cubo è Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per 1 ≤ x ≤ sqrt(2), e Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per sqrt(2) ≤ x ≤ sqrt(3) (A.M. Mathai, P. Moschopoulos, e G. Pederzoli, 1999). La figura seguente mostra il grafico della densità di probabilità.

 

Grafico della densità di probabilità della distanza in un cubo

 

 

La densità di probabilità della distanza nel caso di punti su facce adiacenti di un cubo è Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per 0 ≤ x ≤ 1, Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per 1 ≤ x ≤ sqrt(2), e Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per sqrt(2) ≤ x ≤ sqrt(3) (A.M. Mathai, P. Moschopoulos, e G. Pederzoli, 1999). La figura seguente mostra il grafico della densità di probabilità.

 

Grafico della densità di probabilità della distanza in un cubo

 

 

La densità di probabilità della distanza nel caso di un punto sulle facce e l’altro nell’interno del cubo è Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per 0 ≤ x ≤ 1, Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per 1 ≤ x ≤ sqrt(2), e Densità di probabilità di avere una lunghezza uguale a x, per sqrt(2) ≤ x ≤ sqrt(3) (A.M. Mathai, P. Moschopoulos, e G. Pederzoli, 1999). La figura seguente mostra il grafico della densità di probabilità.

 

Grafico della densità di probabilità della distanza in un cubo

 

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