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Partizioni piane totalmente simmetriche (numero di)

Matematica combinatoria 

Una partizione piana totalmente simmetrica di n è una partizione piana di n, che è sia simmetrica, che ciclicamente simmetrica.

 

Per esempio, una partizione piana totalmente simmetrica di 19 è la seguente.

4

3

2

1

3

1

1

 

2

1

 

 

1

 

 

 

 

La figura seguente mostra la disposizione corrispondente alla partizione piana totalmente simmetrica mostrata sopra.

Raffigurazione di una partizione piana totalmente simmetrica di 20

 

Per esempio, le 4 partizioni piane totalmente simmetriche di 20 sono

6

2

1

1

1

1

2

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

4

3

2

1

3

2

1

 

2

1

 

 

1

 

 

 

3

3

3

3

2

1

3

1

1

3

3

2

3

3

2

2

2

 

 

La tabella seguente mostra il numero di partizioni piane totalmente simmetriche di n per n fino a 20.

n

Numero di partizioni piane totalmente simmetriche

0

1

1

1

2

0

3

0

4

1

5

0

6

0

7

2

8

1

9

0

10

2

11

1

12

0

13

2

14

1

15

0

16

3

17

2

18

0

19

4

20

4

 

Nel 1982 Ian Grant Macdonald propose la congettura che la funzione generatrice del numero di partizioni piene totalmente simmetriche contenute in un cubo di spigolo n sia Funzione generatrice del numero di partizioni piane totalmente simmetriche che possono essere contenute in un cubo di spigolo n; G.E Andrews dimostrò la congettura nel 1979.

Il numero di partizioni piane totalmente simmetriche che possono essere contenute in un cubo di spigolo n è Formula per il numero di partizioni piane totalmente simmetriche che possono essere contenute in un cubo di spigolo n (J. Stembridge, 1995).

Sn può essere calcolato con la ricorrenza S0 = 1, Formula per il numero di partizioni piane totalmente simmetriche che possono essere contenute in un cubo di spigolo n.

 

La tabella seguente mostra il numero Sn di partizioni piane totalmente simmetriche contenute in un cubo di spigolo n per n fino a 20.

n

Sn

0

1

1

2

2

5

3

16

4

66

5

352

6

2431

7

21760

8

252586

9

3803648

10

74327145

11

1885102080

12

62062015500

13

2652584509440

14

147198472495020

15

10606175914819584

16

992340657705109416

17

120567366227960791040

18

19023173201224270401428

19

3897937005297330777227264

20

1037283901500845276138040124

 

Nel 2010 Tewodros Amdeberhan e Victor H. Moll dimostrarono che, se Rn è l’n-esimo numero di Robbins:

  • la massima potenza di 2 che divide S2n è uguale alla massima potenza di 2 che divide Rn;

  • la massima potenza di 2 che divide S2n – 1 è uguale alla massima potenza di 2 che divide Rn, più 2n – 1.

Di conseguenza S2n è dispari se e solo se n è un numero di Jacobsthal ed esistono infiniti valori di S2n pari e infiniti dispari.

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