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Carol (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Carol” gli interi della forma 4n – 2n + 1 – 1 = (2n – 1)2 – 2.

Sono un caso rarissimo di numeri che prendono il nome da una persona che nulla ebbe a che fare con essi: Cletus Emmanuel, il primo a studiarli, diede a questi numeri il nome di un’amica, Carol G. Kirnon.

 

In base 2 il numero di Carol (2n – 1)2 – 2 si rappresenta con n – 2 cifre 1, seguite da uno zero e n + 1 cifre 1. Per esempio, per n = 4 abbiamo il numero di Carol 223 = 110111112.

 

Tra essi vi sono vari numeri primi, detti “primi di Carol”; potrebbero essere infiniti, ma non è stato dimostrato.

Se n è della forma 3k + 2, il corrispondente numero di Carol è multiplo di 7, quindi non può essere primo per k > 0 ed esistono infiniti numeri di Carol composti.

 

I primi di Carol noti si ottengono per n uguale a: 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749 (Cletus Emmanuel, 2004), 185580 (Cletus Emmanuel, 2004), 226749 (Steven Harvey, 2005), 248949 (Eric W. Weisstein, 2006), 253987 (Cletus Emmanuel, 2007), 520363 (Mark Rodenkirch, 2016), 653490 (Mark Rodenkirch, 2016) (Eric W. Weisstein, Pab Ter, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). Sono stati esaminati tutti i valori di n fino a 653490.

Dato che i numeri di Carol sono della forma m2 – 2 con m dispari, i primi di Carol sono primi vicini a potenze.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Carol per n fino a 20.

n

Numero di Carol

0

0

1

–1

2

7

3

47

4

223

5

959

6

3967

7

16127

8

65023

9

261119

10

1046527

11

4190207

12

16769023

13

67092479

14

268402687

15

1073676287

16

4294836223

17

17179607039

18

68718952447

19

274876858367

20

1099509530623

 

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