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Catalan (costante di)

Analisi  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valore
  4. 4. Approssimazioni

La costante di Catalan è così chiamata in onore Eugène Charles Catalan (Bruges, 30/5/1814 – Liegi, 14/2/1894), che per primo la studiò approfonditamente, dimostrando tra l'altro che è uguale a varie serie e integrali.

 

Comunemente indicata con C, ma talvolta anche con G o K, venne definita da Catalan nel 1865 e successivamente studiata da M. Leclert, M. Bresse, J.W.L. Glaisher e altri.

Formula per la definizione della costante di Catalan.

 

E’ probabilmente irrazionale, forse trascendente, ma non è stato dimostrato.

 

Tra le occorrenze inattese della costante, val la pena di ricordare un problema di matematica combinatoria: il calcolo del numero di modi di ricoprire un quadrato n × n con domini (formati da due quadrati uniti per un lato). Tale numero è Formula per il numero di modi di ricoprire un quadrato n × n con domini (P.W. Kastelyn, 1961) e si può dimostrare che è un quadrato, se n è divisibile per 4, il doppio di un quadrato altrimenti.

Per n tendente a infinito, il numero di modi tende a Formula per il limite del numero di modi di ricoprire un quadrato n × n con domini, dove Valore della costante K in due dimensioni.

Se si considerano anche le coperture formate da qualsiasi combinazione di monomini (quadrati isolati) e domini, il limite è analogo, ma la costante K sale a circa 1.94021535.

 

Questo problema è stato studiato anche perché ha interessanti connessioni con la fisica dello stato solido e con la chimica, perché entra nella determinazione delle energie di legame di particolari solidi: la determinazione del numero di modi di tassellare un parallelepipedo con domini formati da due cubi identici è, infatti, considerato uno dei grandi problemi irrisolti della Chimica!

 

In tre dimensioni è stato dimostrato che il numero di modi di costruire un cubo n × n × n con domini tridimensionali (coppie di cubi identici con una faccia in comune) tende a Formula per il limite del numero di modi di costruire un cubo n × n × n con domini, ma in questo caso il valore di K è tuttora ignoto; i migliori limiti conosciuti sono: 0.44007584 ≤ K ≤ 0.457547 (P.H. Lundow, 2001).

Vedi anche

Funzione β.

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