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Lucas – Carmichael (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Lucas – Carmichael” gli interi composti n non multipli di un quadrato tali che per ogni primo p che divide n, p + 1 divide n + 1.

La definizione somiglia al criterio di Korselt per stabilire se un intero è un numero di Carmichael, sommando uno invece di sottrarlo. La precisazione che non sia multiplo di un quadrato serve a escludere le potenze di esponente dispari dei primi, perché p + 1 divide pk + 1 per k dispari.

Per esempio, 399 è un numero di Lucas – Carmichael perché 399 = 3 • 7 • 19 e 4, 8 e 20 dividono 400.

 

I numeri di Lucas – Carmichael sono tutti dispari, perché n deve avere almeno un fattore primo dispari p, quindi p + 1 è pari e può dividere n + 1 solo se anche questo lo è, pertanto n è dispari.

 

Non se ne conosce nessuno che sia anche un numero di Carmichael, ma non è stato dimostrato che non possa esistere; se esistono sono maggiori di 1016 (Richard G.E. Pinch, 2007).

 

Se p e q sono primi o potenze di primi dispari e q = kp – 1, non esistono numeri di Lucas – Carmichael multipli di pq; in particolare non ne esistono multipli di 15 o 33.

 

I 60 numeri di Lucas – Carmichael inferiori al milione sono: 399, 935, 2015, 2915, 4991, 5719, 7055, 8855, 12719, 18095, 20705, 20999, 22847, 29315, 31535, 46079, 51359, 60059, 63503, 67199, 73535, 76751, 80189, 81719, 88559, 90287, 104663, 117215, 120581, 147455, 152279, 155819, 162687, 191807, 194327, 196559, 214199, 218735, 230159, 265895, 357599, 388079, 390335, 482143, 588455, 653939, 663679, 676799, 709019, 741311, 760655, 761039, 776567, 798215, 880319, 895679, 913031, 966239, 966779, 973559.

Qui trovate i numeri di Lucas – Carmichael inferiori a 1012 (Paolo P. Lava e Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Nessun numero di Lucas – Carmichael ha meno di tre fattori primi.

La tabella seguente riporta i minimi numeri di Lucas – Carmichael con un numero fissato di fattori primi.

n

Minimo numero di Lucas – Carmichael con n fattori primi

3

399 = 3 • 7 • 19

4

8855 = 5 • 7 • 11 • 23

5

588455 = 5 • 7 • 17 • 23 • 43

6

139501439 = 7 • 11 • 17 • 19 • 71 • 79

7

3512071871 = 7 • 11 • 17 • 23 • 31 • 53 • 71

8

199195047359 = 7 • 11 • 17 • 19 • 23 • 31 • 47 • 239

 

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