Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Partizioni piane discendenti (numero di)

Matematica combinatoria 

Una partizione piana discendente di n è una partizione piana di n, nella quale le righe sono indentate da sinistra di una unità, ossia ciascuna inizia una casella più a destra della riga soprastante, sono decrescenti lungo le colonne (dall’alto in basso) e non crescenti lungo le righe (da sinistra a destra) e il numero di elementi in ogni riga è minore del massimo numero presente nella riga (nella casella occupata più a sinistra.

ogni numero dello schema è strettamente minore di quello immediatamente al di sopra nella stessa colonna. I numeri sono quindi strettamente descrescenti lungo le colonne, ma solo non crescenti lungo le righe.

 

Per esempio, una partizione piana discendente di 22 è la seguente.

7

7

6

6

3

1

 

6

5

4

2

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Un’interpretazione fisica si ottiene immaginando pile di scatole identiche, ammassate contro una parete, con pile che iniziano scalate di una posizione allontanandosi dalla parete, non crescenti da sinistra a destra e decrescenti allontanandosi dalla parete.

La figura seguente mostra la disposizione corrispondente alla partizione piana discendente mostrata sopra.

Raffigurazione di una partizione piana discendente di 22

 

La tabella seguente mostra le partizioni piane discendenti di n, per n fino a 20.

n

Partizioni piane discendenti di n

0

1

1

0

2

1

3

1

4

2

5

3

6

5

7

6

8

11

9

14

10

22

11

31

12

46

13

62

14

92

15

125

16

178

17

244

18

342

19

464

20

645

 

Le partizioni piane discendenti di ordine n sono quelle che non contengono interi superiori a n e quindi possono essere contenute in un cubo di spigolo n.

Per esempio, le 7 partizioni piane discendenti di ordine fino a 3 sono:

0

2

3

3

 

2

3

3

3

2

3

1

3

 

George E. Andrews avanzò la congettura che la funzione generatrice del numero di partizioni piane discendenti con la parte maggiore non superiore a r sia Funzione generatice per le partizioni piane discendenti.

Andrews dimostrò la congettura nel 1979, mostrando che il numero di partizioni piane discendenti di ordine n è il numero di Robbins Rn.

Bibliografia

  • Bressoud, David M.;  Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, Cambridge, Cambridge University Press, 1999.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.