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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in matematica
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in geometria
  5. 5. Occorrenze in fisica
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Formule
  8. 8. Valore

Data la relativa facilità di calcolo, φ ha attratto relativamente poca attenzione: calcolare centinaia di milioni di cifre di φ è considerato poco più di un esercizio.

 

Il primo calcolo documentato di cifre di φ risale solo al 1597, quando il matematico tedesco Michael Maestlin (Göppingen, Germania, 30/9/1550 – Tübingen, Germania, 20/10/1631) in una lettera a Keplero menzionò il valore, riferendosi al reciproco di φ come “circa 0.6180340” (5 cifre corrette); è tuttavia probabile che gli antichi conoscessero approssimazioni anche migliori.

 

David Johnson fu uno dei primi a calcolare il valore di φ con elevata precisione: servendosi di un elaboratore elettronico ne calcolò 2878 cifre.

 

M. Berg portò il limite a 4599 cifre nel 1966 con una ventina di minuti di calcolo di un IBM 1401.

 

Simon Plouffe calcolò 10 milioni di cifre decimali nel 1996.

 

Xavier Gourdon e P. Sebah calcolarono 3141000000 cifre decimali nel 2002.

 

L’attuale record è di S. Kondo e S. Pagliarulo, che arrivarono a 100 miliardi nel 2008.

 

Qui trovate le prime 1000001 cifre decimali di φ (1 Mbyte).

 

La rappresentazione mediante frazione continua di φ è particolarmente semplice: Rappresentazione di φ come frazione continua. Se si tronca la frazione a un numero finito di termini, si ottiene un’approssimazione sotto forma di una frazione, che ha per numeratore e denominatore due numeri di Fibonacci consecutivi, come notò R. Simpson nel 1753. Per esempio, 377 / 233610 / 377 costituiscono eccellenti approssimazioni, rispettivamente con 5 e 6 cifre decimali corrette.

 

Una frazione continua strettamente correlata è Rappresentazione di φ – 1 come frazione continua. Anche in questo caso se si tronca la frazione a un numero finito di termini, si ottiene un’approssimazione di φ – 1 sotto forma di una frazione, che ha per numeratore e denominatore due numeri di Fibonacci consecutivi, ma col numero maggiore a denominatore.

 

Alle voci espansione di Engelespansione di Lehmer, espansione di Pierce, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di π e costanti correlate.

 

Jaume Oliver Lafont e altri trovarono alcune serie per calcolare singole cifre di valori legati alla costante, senza calcolare tutte le precedenti, analoghe alla serie di Bailey, Borwein e Plouffe per π (v. la parte sul calcolo di cifre singole di π); per esempio Serie per il calcolo di cifre singole di φ in base 5.

 

M.J. Zerger scoprì una curiosa relazione tra le cifre φ e quelle di π, in notazione decimale: le prime 10 cifre di φ ≈ 1.618033988 coincidono, in ordine diverso, con le prime 10 cifre di 1 / π e le prime 9 cifre di 1 / φ coincidono, in ordine diverso, con le prime 9 cifre di 1 / π.

Bibliografia

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    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

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    Una sorta di “atti del convegno” relativi al settimo “Gathering for Gardner”, del 2006. Splendida raccolta di problemi, centrati sul tema del convegno, ovvero il numero 7.

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  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Snijders, C.J.;  La Sezione Aurea, Padova, Franco Muzzio editore, 1993.
  • Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.
  • Wilson, Robin;  Four Colors Suffice, Princeton University Press, 2002 -

    Storia molto ben documentata del teorema dei 4 colori.

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