Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in matematica
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in geometria
  5. 5. Occorrenze in fisica
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Formule
  8. 8. Valore

Nel Rinascimento gli artisti impiegarono il rapporto aureo un po’ dovunque, per stabilire le dimensioni delle finestre, delle porte, la loro collocazione in una facciata, le dimensioni degli edifici, la collocazione delle figure in un quadro, la dimensione del quadro stesso, ma già nell’antichità se n’era fatto largo impiego nelle proporzioni degli edifici, prima e dopo la costruzione del Partenone.

In realtà molti esperti ritengono che il tanto celebrato legame tra φ e il Partenone sia una “costruzione” posteriore. Intanto la costruzione dell’edificio come lo conosciamo oggi fu iniziata nel 447 a.C. (e terminata nel 332 a.C.), mentre gli Elementi di Euclide, dove troviamo la prima chiara trattazione del rapporto aureo, risalgono al 308 a.C., ma soprattutto non v’è traccia storica documentata che gli architetti (Ictino e Callicrate) intendessero avvalersi del rapporto aureo nelle misure della costruzione. Infatti, le dimensioni principali nulla hanno a che vedere con φ: il rapporto tra lunghezza e larghezza è circa 2.25, quasi uguale al rapporto tra larghezza e altezza e ben differente da φ.

Volendo misurare altri rapporti, ci si trova ad aver a che fare con un edificio parzialmente distrutto e con abbondanza di spigoli, ornamenti, rientranze e sporgenze, cornicioni, capitelli, fregi e alla fine un numero enorme di misure nelle quali si può “vedere” ciò che si vuole, come accade per le piramidi egizie.

 

Lo psicologo tedesco Gustav Theodor Fechner (Groß Särchen, Germania, 19/4/1801 – Lipsia, 18/11/1887) tentò di dimostrare che il rettangolo con lati in rapporto aureo è quello che la maggior parte delle persone trova più gradevole. Misurò migliaia di oggetti rettangolari: finestre, quadri, tavoli, carte da gioco, libri, persino lunghezza e distanze tra i punti d’incontro dei viali dei cimiteri, trovando un rapporto medio vicino a φ. Chiese a volontari di scegliere il rettangolo più gradevole, disegnare croci, dividere segmenti, e concluse che il senso estetico comune ci porta a preferire φ come rapporto tra le lunghezze. sottopose una decina di disegni di rettangoli a volontari, chiedendo loro di scegliere il più “proporzionato”. La sua teoria era che il gradimento derivasse dalla fisica della percezione e trovò un certo credito.

Wilhelm Max Wundt (1832 – 1920) supportò in seguito le stesse affermazioni con ulteriori misure, e T.H. Garland misurò le proporzioni delle croci sulle lapidi antiche in giro per l’Europa.

Esperimenti successivi e più precisi, tuttavia, hanno portato solo a concludere che la maggior parte degli esseri umani preferisce rapporti approssimativamente intermedi tra 1 e 2.

 

Sicuramente un rettangolo i cui lati siano in rapporto vicino a φ appare “ben proporzionato” e quindi un rapporto del genere è stato utilizzato, magari inconsapevolmente, per motivi estetici. Dal Rinascimento in poi divenne una vera ossessione.

I libri antichi avevano generalmente pagine con rapporto tra le dimensioni uguale a 2 : 3, 1 : φ o Rapporto tra le dimensioni delle pagine di libri antichi, con rare eccezioni, e gli stessi rapporti valevano per le dimensioni della parte stampata della pagina.

 

Ritroviamo la sezione aurea persino nella forma di un violino Stradivari:

  • il suo corpo è inscrivibile in 4 pentagoni regolari, a due a due uguali;

  • il rapporto tra lunghezza della cassa e lunghezza dello strumento è φ;

  • il punto di intersezione delle linee passanti per i centri delle volute delle aperture della cassa divide la lunghezza della stessa come una sezione aurea.

 

Rimando alla bibliografia in fondo all’articolo per altre occorrenze di φ nelle opere umane; ne ricordo solo alcune delle più curiose.

Nell’università di stato di San Jose si trova una scultura astratta in bronzo, intitolata “Hommage à l’Archimède”, che contiene un’iscrizione che ricorda quella che si trovava sulla tomba di Archimede: invece di una sfera inscritta in un cilindro, mostra un triangolo e un’ellisse, inscritti in un rettangolo aureo, come nella figura seguente.

 

Ellisse e triangolo inscritti in un rettangolo aureo

 

La spiegazione della figura sta nel fatto che se si fa ruotare la figura sull’asse verticale, si generano tre solidi, un cono, un ellissoide e un cilindro, i cui volumi sono nel rapporto 1 : 2 : 3. Non vi è nulla di speciale, però, nell’uso del rettangolo aureo: gli stessi rapporti valgono per le tre figure inscritte in qualsiasi rettangolo.

Incidentalmente un’ellisse inscritta in un rettangolo aureo ha eccentricità Eccentricità di un’ellisse inscritta in un rettangolo aureo, distanza tra i fuochi Rapporto tra la distanza tra i fuoghi e l’asse maggiore in un’ellisse inscritta in un rettangolo aureo volte l’asse maggiore e latus rectum (corda perpendicolare all’asse maggiore, passante per un fuoco) φ – 1 volte l’asse minore.

 

Numerosi architetti moderni (Le Corbusier su tutti) si servirono della sezione aurea per stabilire le proporzioni di varie parti degli edifici; un esempio spettacolare è la piattaforma panoramica sulla torre di Toronto, collocata a un’altezza che è la sezione aurea dell’altezza della torre.

 

Già Pitagora aveva ipotizzato che φ fosse il rapporto “ideale” tra varie misure del corpo umano e numerosi artisti impiegarono queste osservazioni nelle arti figurative; nel XIX secolo si tentò di dare a tali osservazioni una base scientifica.

Tra i casi più curiosi ricordo la “legge di Lonc”, dal nome dell’originale personaggio (Frank A. Lonc) che misurò 65 donne, nel tentativo di dimostrare che il rapporto medio tra l’altezza di un essere umano e l’altezza del suo ombelico è appunto φ (con inevitabili implicazioni esoteriche legate alla supposta perfezione dell’essere umano). L’ipotesi era una delle teorie preferite di Adolf Zeising, che nel 1884 aveva pubblicato un trattato su φ, Der goldene Schnitt (la sezione aurea) nel quale sosteneva che questo è il rapporto esteticamente più gradevole, nonché la chiave per comprendere arte, architettura, musica e morfologia, compresa l’anatomia umana. Lonc scoprì anche che Approssimazione di Lonc per π è una buona approssimazione per π.

Altri trovarono (o inventarono?) varie relazioni tra misure del corpo umano “ideale” e φ: per esempio, il rapporto tra la lunghezza del braccio (dalla spalla alla punta del dito medio) e la larghezza delle spalle è φ, come pure il rapporto tra lunghezza dell’avambraccio, dal gomito al polso, e lunghezza della mano, dal polso alla punta dell’indice. Meglio ancora, prendendo la terza falange dell’indice come unità, la seconda è lunga φ, la prima φ2 e la mano, dal polso all’inizio del dito indice, φ4. E ancora, in un immagine bidimensionale del volto, il rapporto tra le distanze dalla punta del mento alla punta del naso e da questa al punto intermedio tra gli occhi è φ, come pure il rapporto tra le distanze dal punto intermedio tra gli occhi alla punta del mento e da questa e al centro della bocca.

Nel corpo umano, come nelle piramidi egizie o centroamericane, si possono misurare tanti parametri arbitrari che non è difficile trovare i rapporti più disparati, soprattutto dovendosi accontentare di approssimazioni e valori medi.

 

Molti testi riportano che il rapporto tra le ampiezza di due avvolgimenti consecutivi della conchiglia del nautilo è approssimativamente φ; in altre parole quando la conchiglia del Nautilo aumenta di un intero giro, le sue dimensioni aumenterebbero all’incirca di φ. In realtà il rapporto è sì costante, quindi la forma della conchiglia è una buona approssimazione di una spirale logaritmica, ma varie misure indicano che è eventualmente vicino a φ4, ossia che aumenta di un rapporto non troppo lontano da φ ogni quarto di giro.

 

In moltissime piante ogni nuova foglia cresce con un angolo vicino a π / φ rispetto alla precedente sullo stesso ramo. Lo stesso angolo si ritrova vella crescita di nuovi rami e spiega perché tenda a esserci una periodicità vicina a un numero di Fibonacci tra foglie o rami orientati allo stesso modo.

 

La stella a 5 punte, contenente varie coppie di segmenti con rapporto φ, era il simbolo sella setta pitagorica.

 

Un ultima stravagante citazione: quando si vedono orologi analogici fermi in mostra in una vetrina, le ore più frequentemente indicate sono 10:09 e 8:18. Sono state proposte varie spiegazioni di questo fatto, dall’esoterico (l’ora della morte di Lincoln, negli USA) al pratico (sono tra le configurazioni che rendono più visibile il marchio del fabbricante, di solito posto sopra il centro, ed eventuali decorazioni o indicazioni aggiuntive poste alle ore 3, 6, 9 e 12), ma la più curiosa, di M.G. Monzingo, è che in tal modo le lancette sono disposte lungo le diagonali di un immaginario rettangolo aureo sul quadrante e ne indicano due dei 4 vertici.

Bibliografia

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  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Garlad, Trudi Hammel;  Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, Palo Alto, Seymour, 1987.
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  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
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  • Pegg, Ed Jr.;  Rodgers, Tom;  Schoen, Alan H.;  Homage to a Pied Puzzler, A.K. Peters, 2009 -

    Una sorta di “atti del convegno” relativi al settimo “Gathering for Gardner”, del 2006. Splendida raccolta di problemi, centrati sul tema del convegno, ovvero il numero 7.

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Snijders, C.J.;  La Sezione Aurea, Padova, Franco Muzzio editore, 1993.
  • Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.
  • Wilson, Robin;  Four Colors Suffice, Princeton University Press, 2002 -

    Storia molto ben documentata del teorema dei 4 colori.

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