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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in matematica
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in geometria
  5. 5. Occorrenze in fisica
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Formule
  8. 8. Valore

Nella geometria φ compare in vari casi, soprattutto legati a pentagoni, decagoni, dodecaedri e icosaedri.

 

Il rapporto tra il raggio di un cerchio e il lato del decagono regolare inscritto è φ.

 

Se si tracciano le diagonali e vari altri segmenti in un pentagono regolare, come mostrato nella figura seguente, valgono i rapporti:

  • Rapporti tra lunghezze che coinvolgono φ;

  • Rapporto tra lunghezze che coinvolge φ;

  • Rapporto tra lunghezze che coinvolge φ.

 

Vari segmenti in un pentagono regolare

 

 

Un triangolo isoscele con angoli di 36º, 72º e 72º, come il triangolo ABC della figura seguente, è noto come “triangolo aureo”; lo ritroviamo varie volte nel pentagono precedente (per esempio, come triangolo ACE) e come uno dei 10 “spicchi” che formano un decagono regolare. In esso la base BC è la sezione aurea degli altri due lati e la bisettrice BD di uno degli angoli uguali lo divide in due triangoli isosceli, uno dei quali aureo.

 

Sequenza di triangoli aurei

 

La figura mostra come, iterando il procedimento, si ottenga una sequenza di triangoli aurei, con rapporto φ tra ciascuno e il successivo, che tende a ridursi a un punto, all’incrocio delle mediane indicate in colore. I punti A, B, C, ... G giacciono su una spirale logarirmica, avente lo stesso punto d’incrocio come centro.

 

Analogamente se si suddivide un rettangolo aureo in un quadrato e un rettangolo (ancora aureo) e si procede all’infinito, si traccia una figura come la seguente, nella quale i punti di suddivisione E, F, G... stanno su una spirale logaritmica, (la spirale non è esattamente tangente ai rettangoli nei suddetti punti).

 

Sequenza di rettangoli aurei

 

In questa figura non solo Rapporti tra lunghezze che coinvolgono φ, ma anche il rapporto tra le diagonali AC e BH, perpendicolari tra loro, è φ e il polo O della spirale, loro punto comune, è anche il punto comune ai segmenti EG e FD, che bisecano gli angoli formati dalle diagonali suddette.

 

Nel 1974 D.W. DeTemple studiò l’arco pentagonale, ottenuto unendo vertici di 5 pentagoni affiancati, come mostra la figura seguente.

 

Arco pentagonale

 

In esso Rapporto tra lunghezze che coinvolge φ e Rapporto tra lunghezze che coinvolge φ.

 

Sembra che G. Odom sia stato il primo a notare che nella seguente figura il lato dei uno dei triangoli rossi è la sezione aurea del lato del triangolo blu (American Mathematical Monthly, 1983).

 

Triangoli in una circonferenza

 

 

Se inscriviamo in una semicirconferenza il massimo quadrato possibile, otteniamo una figura come la seguente.

 

Massimo quadrato inscritto in una semicirconferenza

 

In questo caso Rapporti tra lunghezze che coinvolgono φ.

 

Se si inscrivono in una semicirconferenza 3 cerchi uguali affiancati e mutuamente tangenti come nella figura, il loro diametro è la sezione aurea del raggio della semicirconferenza.

 

Tre cerchi inscritti in una semicirconferenza

 

Si tratta solo di un caso particolare interessante della soluzione generale: se i cerchi allineati all’interno sono n, il rapporto tra il loro diametro e il raggio della semicirconferenza è Rapporto tra il diametro dei cerchi e il raggio della semicirconferenza, che si riduce a φ – 1 per n = 3.

 

Il triangolo inscritto in un quadrato che rende massimo il raggio del cerchio a sua volta inscritto nel triangolo è quello mostrato nella figura.

 

Il triangolo inscritto in un quadrato che rende massimo il raggio del cerchio a sua volta inscritto nel triangolo

 

Se il lato del quadrato è unitario, il raggio del cerchio è Raggio del cerchio.

 

La figura seguente mostra come costruire due triangoli che hanno 5 elementi (3 angoli e due lati) uguali, pur non essendo uguali.

 

Due triangoli diversi che hanno 5 elementi uguali

 

Gli elementi uguali si susseguono naturalmente in un diverso ordine. I lati sono (p3, p2q, pq2) e (p2q, pq2, q3), e la costruzione è possibile per qualsiasi valore di p e q, con p > q, purché Condizione necessaria e sufficiente perché la costruzione sia possibile.

 

Persino nel semplice triangolo rettangolo di lati 3, 4 e 5, già noto a Egizi e Babilonesi, si nasconde φ, come mostra la figura.

 

Triangolo rettangolo con lunghezze dei lati 3, 4 e 5

 

La circonferenza con centro O e tangente ai lati del triangolo in C e D ha raggio 3; con semplici calcoli si trova allora che AE = 3φ ≈ 4.8541019662, AF = 3(φ – 1) ≈ 1.8541019662, Rapporti tra lunghezze che coinvolgono φ, Rapporti tra lunghezze che coinvolgono φ.

 

Come devono essere scelti i due punti A e B lungo i lati del rettangolo nella figura seguente, perché i tre triangoli in colore abbiano la stessa area?

 

Rettangolo diviso in 4 triangoli

 

La risposta inattesa è che, indipendentemente dalle lunghezze dei lati del rettangolo, i due punti devono essere collocati in modo da dividere i due lati come la sezione aurea, quindi con rapporto φ tra le due parti.

 

Si chiama “triangolo di Keplero” un triangolo rettangolo con i lati in progressione geometrica; dal teorema di Pitagora si ricava facilmente che il rapporto tra i lati deve essere Rapporti tra i lati in un triangolo di Keplero.

Se inscriviamo un triangolo siffatto in una circonferenza e costruiamo un quadrato sul cateto maggiore, otteniamo una figura come la seguente.

 

Triangolo di Keplero inscritto in una circonferenza, con un quadrato costruito sul cateto maggiore

 

Se prendiamo il cateto minore come unità di misura, il perimetro del quadrato è Perimetro del quadrato e la circonferenza del cerchio è πφ ≈ 5.0832036923: le due misure differiscono per meno di una parte su mille. Questo dipende dal fatto che Approssimazione per π è una discreta approssimazione di π, come detto a proposito delle piramidi egizie (v. π).

 

P. Penrose scoprì una tassellatura non periodica del piano, con due soli tipi di “tessere”diverse. Tassellando il piano con tali tessere, il rapporto tra i numeri di tessere impiegate dei due tipi tende a φ.

 

Un parallelepipedo con spigoli 1 / φ, 1 e φ ha interessanti proprietà:

  • il volume è 1;

  • la diagonale interna è 2;

  • le facce sono rettangoli aurei;

  • il rapporto tra le superfici delle facce è Rapporto tra le superfici facce;

  • la superficie totale è 4φ;

  • il rapporto tra la superficie totale e quella della sfera circoscritta è Rapporto tra la superficie totale e quella della sfera circoscritta.

 

In un icosaedro regolare il rapporto tra la distanza di due spigoli paralleli e la loro lunghezza è φ.

 

I dodici vertici di un icosaedro regolare sono anche i vertici di 3 rettangoli uguali, perpendicolari tra loro e col centro in comune, nei quali il rapporto dei lati è φ. Lo stesso succede ai 12 centri delle facce di un dodecaedro regolare, che è il solido duale dell’icosaedro.

Bibliografia

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    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

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    Una sorta di “atti del convegno” relativi al settimo “Gathering for Gardner”, del 2006. Splendida raccolta di problemi, centrati sul tema del convegno, ovvero il numero 7.

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    Una miniera di informazioni sugli interi.

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  • Wilson, Robin;  Four Colors Suffice, Princeton University Press, 2002 -

    Storia molto ben documentata del teorema dei 4 colori.

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