Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in matematica
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in geometria
  5. 5. Occorrenze in fisica
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Formule
  8. 8. Valore

Data una mappa, cioè un insieme di regioni del piano a contatto tra loro, il numero di modi per colorarla con k colori in modo che regioni a contatto (non in un solo punto) siano di colori differenti è un polinomio P(k), detto polinomio cromatico, come dimostrò Birkoff nel 1912. Il polinomio è il polinomio cromatico del grafo ottenuto sostituendo ogni regione con un nodo e collegando con un arco i nodi corrispondenti a regioni confinanti (v. costanti di Tutte – Beraha).

Birkoff dimostrò alcune interessanti proprietà di tali polinomi; in particolare che i coefficienti sono di segno alterno e che P(k) ≥ k(k – 1)(k – 2)(k – 3)n – 3 per qualsiasi mappa con n regioni e qualsiasi valore di k, tranne 4. Una mappa con molte regioni generalmente richiede 4 colori, quindi il suo polinomio cromatico vale 0 per k uguale a 1, 2 e 3.

Una mappa si dice cubica se le linee di confine si incontrano sempre a tre per volta, e quindi non esistono punti di confine comuni a 4 o più regioni. Nel 1969 Bill Tutte dimostrò che |P2)| ≤ φ5 – n per qualsiasi mappa cubica e che quindi per una mappa cubica con molte regioni P2) è molto vicino a zero.

 

Consideriamo un poligono convesso con n vertici: il numero di poligoni che possiamo formare utilizzando gli stessi vertici (eventualmente scartandone qualcuno) è Numero di modi per formare un poligono con n vertici; se però vogliamo che il nuovo poligono non abbia lati in comune col poligono originale (e quindi abbia per lati solo diagonali del poligono di partenza e sia contenuto in questo), non possiamo conservare due vertici adiacenti e il numero scende a Numero di modi per formare un poligono con n vertici, che è l’intero più vicino a Approssimazione del numero di modi per formare un poligono con n vertici.

La figura seguente mostra i 5 poligoni che si possono formare utilizzando i 4 vertici di un quadrilatero convesso.

I 5 poligoni che si possono formare con i 4 vertici di un quadrilatero convesso

 

La tabella seguente mostra il numero di modi e la formula approssimata per n sino a 20.

n

Numero modi con lati comuni

Numero modi senza lati comuni

Approssimazione del numero di modi per formare un poligono con n vertici

3

1

0

0.2360679775

4

5

0

–0.1458980338

5

16

0

0.0901699437

6

42

2

1.9442719100

7

99

7

7.0344418537

8

219

18

17.9787137637

9

466

39

39.0131556175

10

968

77

76.9918693812

11

1981

143

143.0050249987

12

4017

255

254.9968943800

13

8100

442

442.0019193787

14

16278

751

750.9988137587

15

32647

1258

1258.0007331374

16

65399

2086

2085.9995468961

17

130918

3434

3434.0002800336

18

261972

5624

5623.9998269297

19

524097

9177

9177.0001069633

20

1048365

14936

14935.9999338930

 

Bibliografia

  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Garlad, Trudi Hammel;  Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, Palo Alto, Seymour, 1987.
  • Huntley, H.E.;  The Divine Proportion, a Study in Mathematical Beauty, Dover, 1970.
  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Variazioni: un tema aureo" in Le Scienze, Milano, n. 436, dicembre 2004, pag. 76 – 81.
  • Pegg, Ed Jr.;  Rodgers, Tom;  Schoen, Alan H.;  Homage to a Pied Puzzler, A.K. Peters, 2009 -

    Una sorta di “atti del convegno” relativi al settimo “Gathering for Gardner”, del 2006. Splendida raccolta di problemi, centrati sul tema del convegno, ovvero il numero 7.

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Snijders, C.J.;  La Sezione Aurea, Padova, Franco Muzzio editore, 1993.
  • Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.
  • Wilson, Robin;  Four Colors Suffice, Princeton University Press, 2002 -

    Storia molto ben documentata del teorema dei 4 colori.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.