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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in matematica
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in geometria
  5. 5. Occorrenze in fisica
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Formule
  8. 8. Valore

Keplero riscoprì nel 1608 che è il limite cui tende il rapporto di due numeri di Fibonacci consecutivi e lo chiamò “sectio divina”.

In realtà per qualsiasi sequenza generata con la ricorrenza an = an – 1 + an – 2, vale Limite cui tende il rapporto tra termini successivi della sequenza, quali che siano i valori iniziali.

 

φ può essere usato come base per rappresentare i numeri, utilizzando solo le cifre 0 e 1 (v. rappresentazione in base φ).

 

φ soddisfa le relazioni φ + 1 = φ2 e φ – 1 = φ–2, quindi è uno dei due numeri morfici.

 

L’equazione tan x = cos x ha per soluzione x = sin–1(φ – 1).

 

L’equazione Equazione che ha per soluzione φ – 1 ha per soluzione φ – 1.

 

L’unica soluzione con funzioni reali dell’equazione differenziale f’(x) = f–1(x) è f(x) = φ1 – φxφ. Questo non è che un caso particolare dell’equazione f(n)(x) = f–1(x), che ha soluzione Soluzione dell'equazione differenziale, con Formula per la definizione di k.

 

Un’occorrenza di φ assolutamente inaspettata è legata alla sequenza di Golomb, nella quale si inizia con 1, poi il termine n-esimo è uguale al numero di occorrenze di n nella sequenza, mai decrescente. La sequenza è quindi formata dalla concatenazione di ripetizioni di un numero, in ordine crescente, nelle quali il numero di ripetizioni è determinato dai numeri già presenti nella sequenza.

Chiariamo la definizione:

  • il primo termine è 1, quindi non potranno esserci altri 1;

  • il secondo termine è il minimo intero possibile, cioè 2 e quindi deve seguire un altro 2;

  • il terzo termine è già stato stabilito essere 2, quindi seguiranno due 3;

  • il quarto termine è 3, quindi seguiranno tre 4.

Proseguendo in questo modo si ottiene la sequenza: 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, ....

Il termine n-esimo è l’intero più vicino a Formula per il calcolo dei termini della sequenza.

 

Una sorprendente frazione continua lega φ ai numeri di Fibonacci: Frazione continua che lega φ ai numeri di Fibonacci (J.L. Davison, 1977).

Bibliografia

  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Garlad, Trudi Hammel;  Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, Palo Alto, Seymour, 1987.
  • Huntley, H.E.;  The Divine Proportion, a Study in Mathematical Beauty, Dover, 1970.
  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Variazioni: un tema aureo" in Le Scienze, Milano, n. 436, dicembre 2004, pag. 76 – 81.
  • Pegg, Ed Jr.;  Rodgers, Tom;  Schoen, Alan H.;  Homage to a Pied Puzzler, A.K. Peters, 2009 -

    Una sorta di “atti del convegno” relativi al settimo “Gathering for Gardner”, del 2006. Splendida raccolta di problemi, centrati sul tema del convegno, ovvero il numero 7.

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Snijders, C.J.;  La Sezione Aurea, Padova, Franco Muzzio editore, 1993.
  • Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.
  • Wilson, Robin;  Four Colors Suffice, Princeton University Press, 2002 -

    Storia molto ben documentata del teorema dei 4 colori.

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