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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Occorrenze in matematica
  3. 3. Occorrenze in matematica combinatoria
  4. 4. Occorrenze in geometria
  5. 5. Occorrenze in fisica
  6. 6. Altre occorrenze
  7. 7. Formule
  8. 8. Valore

(lettera greca phi)

 

Il numero Formula per φ è il cosiddetto “rapporto aureo”, detto anche “costante aurea”, vale a dire il rapporto che secondo i canoni estetici rinascimentali era ritenuto ideale tra due dimensioni (di solito ortogonali tra loro) di un oggetto, come altezza e larghezza di un rettangolo o di un triangolo. E’ un numero irrazionale algebrico.

 

La suddivisione di un segmento, preso come unità di misura, secondo il rapporto aureo consiste nel dividerlo in due segmenti x e 1 – x, tali che il rapporto tra l’intera lunghezza (1) e la parte maggiore (x) sia uguale al rapporto tra questa e la parte minore (1 – x). Questo equivale a richiedere che Equazione per la sezione aurea, che ci porta a cercare le soluzioni dell’equazione x2 + x – 1 = 0, che sono Soluzione dell'equazione per la sezione aurea. La soluzione positiva, quella che più propriamente dovrebbe chiamarsi “sezione aurea” è Valore della sezione aurea.

Se invece prendiamo come unità la parte di lunghezza maggiore, abbiamo Equazione per φ, che ci porta a cercare le soluzioni dell’equazione x2x – 1 = 0, che sono Soluzione dell'equazione per φ. La soluzione positiva rappresenta la lunghezza dell’intero segmento prendendo la parte maggiore come unità di misura ed è φ.

 

In modo equivalente si può dire che il quadrato costruito sulla parte maggiore deve avere la stessa area del rettangolo che ha per lati l’intero segmento e la parte restante, ossia, con riferimento alla figura seguente, nella quale AB = AC, che le aree del rettangolo e del quadrato colorati sono equivalenti.

 

Raffigurazione della sezione aurea

 

 

In alcuni testi strettamente tecnici si trova indicato con la lettera greca τ, (tau, iniziale della parola greca τέμνειν, che significa “tagliare” o τομή, “taglio”, “sezione”) meno comunemente anche come g, ma mi sembra doveroso mantenere il nome in voga nella letteratura divulgativa (e comunque sempre più popolare anche in quella tecnica), in omaggio alle sue origini greche. Il nome φ deriva infatti dall’iniziale di Fidia, il grande scultore greco che, secondo alcuni, se ne servì abbondantemente nello stabilire le proporzioni delle sue opere; il nome gli venne attribuito però solo all’inizio del XX secolo da Max Barr.

 

Quando nasce φ?

 

Nei reperti babilonesi non è mai menzionato il valore di φ con qualche significato particolare; si trovano solo approssimazioni per la radice quadrata di 5.

 

Nel papiro di Rhind (circa 1650 a.C.) vi è un riferimento a un “rapporto sacro”, ma a parte questo non vi è traccia del fatto che gli Egizi ne conoscessero le proprietà.

Erodoto scrisse nel V secolo a.C. che i sacerdoti egizi gli avevano spiegato che le proporzioni della grande piramide erano state scelte in modo tale che l’area di una faccia fosse equivalente a quella di un quadrato avente come lato l’altezza della piramide; questo equivale ad affermare che la metà del lato della base è la sezione aurea dell’altezza di una faccia o che il rapporto tra la somma delle aree delle facce e l’area della base è φ.

Le misure effettive della piramide danno ragione a Erodoto fino alla terza cifra decimale, ossia nei limiti dell’errore di misura, dato che il rivestimento e parte della sommità mancano. Tuttavia il testo sembra affermare che fosse stato scelto un rapporto preciso tra superfici, che solo casualmente coinvolge φ.

Se la piramide fosse stata progettata come descritto, curiosamente il rapporto tra perimetro della base e altezza Supposto rapporto tra perimetro della base e altezza della grande piramide, sarebbe molto prossimo al rapporto tra circonferenza e diametro, ossia a 2π, e in effetti le misure hanno spinto alcuni a supporre che proprio quest’ultimo rapporto fosse alla base del progetto. Se la scelta fu determinata dal rapporto tra le aree, l’inclinazione delle facce dovrebbe essere circa 51º49’38”, mentre se il rapporto tra doppio del lato e altezza doveva essere π, la stessa inclinazione dovrebbe essere circa 51º51’14”: la differenza è troppo piccola perché la decisione possa essere affidata a misure, tenuto anche conto dello stato della piramide stessa e del fatto che gli antichi Egizi utilizzavano approssimazioni alquanto rozze per π.

 

Essendo i precedenti a dir poco incerti, possiamo considerare questa frase di Euclide (Elementi, libro IV) come l’atto di nascita della sezione aurea: “Ἂκρος καὶ μέσος λόγος εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται ὃταν ᾓ ὣς ἣ ὂλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα οὗτος τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἒλαττον” (una linea si dice tagliata in rapporto estremo e medio quando il rapporto tra l’intera [linea] e la parte maggiore è uguale a quello tra la parte maggiore e la minore). Non sembra però che i Greci la designassero con un termine specifico.

 

Luca Pacioli (Borgo Sansepolcro, 1445 circa – Roma, 19/6/1517) ne trattò diffusamente nel suo De Divina Proportione, illustrato da Leonardo da Vinci e pubblicato a Venezia nel 1509, e fu probabilmente il primo a usare il termine “sectio aurea”, oltre a “divina proporzione”.

 

Keplero rese universale l’uso del nome “divina proportione”.

 

Ohm nel 1835 fece il primo uso noto del termine “rapporto aureo”, ma questo nome sembra essere comparso in precedenza nello stesso secolo.

Bibliografia

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    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

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    Una sorta di “atti del convegno” relativi al settimo “Gathering for Gardner”, del 2006. Splendida raccolta di problemi, centrati sul tema del convegno, ovvero il numero 7.

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    Una miniera di informazioni sugli interi.

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  • Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.
  • Wilson, Robin;  Four Colors Suffice, Princeton University Press, 2002 -

    Storia molto ben documentata del teorema dei 4 colori.

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