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Littlewood (congettura di)

Congetture  Rappresentazione dei numeri 

John Edensor Littlewood (Rochester, Inghilterra, 1885 – Cambridge, 7/9/1977) avanzò nel 1930 la congettura che per qualsiasi coppia di numeri reali x e y, Formula per la congettura di Littlewood, dove ||x|| è la differenza tra x e l’intero più vicino.

 

La congettura asserisce in pratica che presi due reali x e y, esistono infinite coppe di frazioni con lo stesso denominatore n che li approssimano piuttosto bene contemporaneamente. In particolare esistono infiniti valori di n tali che approssimando x con p / n e y con q / n valga Diseguaglianza soddisfatta per infiniti valori di n, secondo la congettura di Littlewood.

 

Félix Édouard Justin Émile Borel (Saint-Afrique, Francia, 7/1/1871 – Parigi, 3/2/1956) dimostrò nel 1909 che le coppie di reali che violano la congettura costituiscono un insieme di misura di Lebesgue zero. Manfred Einsiedler, Anatole Katok e Elon Lindenstrauss dimostrarono nel 2006 che l’insieme ha dimensione di Hausdorff zero.

 

Questi risultati implicano che fissato x, è possibile trovare infiniti valori di y che soddisfano la congettura, ma non escludono la possibilità dell’esistenza di infinite eccezioni.

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