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Domb (numeri di)

Sequenze 

Si chiamano “numeri di Domb” i numeri naturali definiti come Formula per la definizione dei numeri di Domb.

 

Possono anche essere ricavati con la ricorrenza D0 = 1, D1 = 4, Ricorrenza per il calcolo dei numeri di Domb.

 

Hanno applicazioni nello studio dei cammini casuali e in matematica combinatoria.

 

Asintoticamente Dn tende a Limite asintotico cui tendono i numeri di Domb.

 

Zhi-Wei Sun dimostrò che Somma che coinvolge coefficienti binomiali e numeri di Domb e Somma che coinvolge coefficienti binomiali e numeri di Domb.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Domb fino a D20.

n

Dn

0

1

1

4

2

28

3

256

4

2716

5

31504

6

387136

7

4951552

8

65218204

9

878536624

10

12046924528

11

167595457792

12

2359613230144

13

33557651538688

14

481365424895488

15

6956365106016256

16

101181938814289564

17

1480129751586116848

18

21761706991570726096

19

321401321741959062016

20

4766118425002290943216

 

Robert Osburn e Brundaban Sahu dimostrarono nel 2012 che, per qualsiasi terna di interi a, b e c maggiori di zero, se Formula per la definizione di una classe di numeri che comprende i numeri di Domb, allora Congruenza soddisfatta da una classe di numeri che comprende i numeri di Domb, per p primo maggiore di 3 e in particolare DpnDn mod p3, per p primo maggiore di 3 (H. Chan, S. Cooper e F. Sica, 2010).

 

Zhi-Wei Sun propose alcune congetture sui numeri di Domb:

  • Formula che coinvolge i numeri di Domb è strettamente crescente;

  • Formula che coinvolge i numeri di Domb è strettamente crescente;

  • Formula che coinvolge i numeri di Domb è strettamente decrescente;

  • definendo dn come il valore del determinante di una matrice quadrata di Henkel con n + 1 righe e colonne contenente numeri di Domb, ossia Formula per la definizione di d(n)d(n) / 12^n è un intero dispari;

  • ogni numero di Domb ha un fattore primo primitivo, cioè è multiplo di un primo che non divide alcun numero di Domb inferiore (v. congetture di Zhi-Wei Sun)

Nel 2013 Yi Wang e Bao-Xuan Zhu dimostrarono vere le prime due congetture.

Tabelle numeriche

I numeri di Domb fino a D100.

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