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Bertrand (postulato di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Joseph Bertrand (1822 – 1900), esaminando tavole di primi, notò nel 1845 che per n > 1 esiste sempre un primo tra n e 2n, e verificò tale proprietà per n sino a 3 milioni. Suppose quindi che la regola valesse sempre e da allora questa affermazione è nota come “postulato di Bertrand”, anche se dovrebbe chiamarsi “teorema di Chebyshev”, perché il matematico russo dimostrò nel 1850 che per n > 3 esiste sempre un primo tra n e 2n – 2 e che per n abbastanza grande esiste sempre un primo tra n e Sei quinti di n. Più precisamente per n > 4 Limiti superiore e inferiore per il numero di primi compresi tra n e 2n.

Il temine è improprio anche perché all’origine era una congettura e non un postulato, ma è quello più comunemente usato.

 

La dimostrazione del matematico russo utilizzava metodi analitici raffinati; Ramanujan diede la prima prova usando metodi elementari, che fu ulteriormente semplificata da Erdös nel 1932 (a soli 19 anni).

 

Il postulato di Bertrand ha alcune conseguenze curiose, tra le quali:

  • ogni intero maggiore di 6 può essere espresso come somma di primi distinti; equivalentemente i numeri primi e 1 formano una sequenza additiva completa (in grado di rappresentare ogni intero positivo come somma di termini distinti);

  • gli interi da 1 a 2n possono sempre essere suddivisi a coppie, in modo che la somma di ogni coppia sia un numero primo;

  • per ogni n dispari si possono trovare due interi x e y tali che x + y = n e x2 + y2 sia primo; infatti la somma dei quadrati varia tra (n^2 + 1) / 2 e n2– 2n + 2, ossia in un intervallo lievemente inferiore a quello del postulato, ma superiore a quello nel quale oggi sappiamo deve trovarsi almeno un primo.

 

Una generalizzazione è che se n > k, la sequenza degli interi da n a n + k – 1 contiene almeno un multiplo di un primo maggiore di k (il postulato di Bertrand corrisponde al caso n = k + 1). In questa forma fu dimostrato da Sylvester.

 

Un’altra generalizzazione, dimostrata prima da Ramanujan e poi da Erdös è che per ogni intero k vi sono almeno k primi tra n e 2n per n abbastanza grande (v. primi di Ramanujan).

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