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Liouville forti (numeri di)

Algebra  Rappresentazione dei numeri 

La definizione dei numeri di Liouville può essere riformulata in termini dei denominatori delle frazioni che lo approssimano. Più precisamente, dato un numero irrazionale x e la sequenza dei denominatori qn delle frazioni ottenute troncando al termine n-esimo la frazione continua che lo approssima x è un numero di Liouville forte se per ogni numero naturale n esistono infiniti interi k tali che q(k + 1) > q(k)^n.

Un numero irrazionale x si dice “numero di Liouville forte” se per ogni n esiste un valore N(n) tale che per k > N(n) valga q(k + 1) > q(k)^n. In pratica quindi si chiede che la proprietà non valga solo per infiniti valori di k, ma per tutti i valori abbastanza grandi.

 

Tutti i numeri di Liouville forti sono numeri di Liouville e quindi trascendenti.

 

G. Petruska dimostrò nel 1992 che la somma e il prodotto di due o più numeri di Liouville forti sono numeri razionali o numeri di Liouville. Viceversa se x è un numero di Liouville forte, xn e non sono numeri di Liouville forti per n intero e maggiore di 1.

 

Resta aperto il problema, proposto da Erdös se sia possibile esprimere ogni numero reale come somma o prodotto di due numeri di Liouville forti.

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