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Young – Fejér – Jackson (costanti di)

Analisi 

Nel 1912 W.H. Young dimostrò che la somma Somma che non è mai negativa non è mai negativa, per 0 < θ < π, qualsiasi valore intero di n e –1 < a ≤ 0, poi nel 1928 W. Rogosinski e G. Szegö estesero la dimostrazione ad a non superiore a una costante A.

G. Gasper dimostrò infine nel 1969 che tale costante è soluzione dell’equazione 9x7 + 55x6 – 14x5 – 948x4 – 3247x3 – 5013x2 – 3780x – 1134 = 0, è pertanto algebrica e vale circa 4.5678018826.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della costante A.

 

Nel 1910 L. Fejér avanzò la congettura che Somma che non è mai negativa sia sempre maggiore di zero per 0 < θ < π; D. Jackson dimostrò vera la congettura l’anno seguente.

G. Brown e K.Y. Wang estesero nel 1997 i lavori di altri matematici, dimostrando che un risultato analogo vale per la somma Somma che non è mai negativa, sempre positiva per n dispari e per –1 < b ≤ B. In questo caso però il valore di B è molto più complicato da definire: chiamando λ la minima soluzione positiva dell’equazione (1 + λ)π = tan(λπ), che vale circa 0.4302966531, B è la soluzione dell’equazione Equazione per la definizione di B, cioè circa 2.1102339661.

Non è noto se B sia trascendente o meno.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di λ.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della costante B.

 

Se n è pari, la somma è sempre positiva se Intervallo di valori di θ che rendono positiva la somma, dove μ è la minima soluzione positiva dell’equazione (1 + λ)sin(μπ) = μsin(λπ) e vale circa 0.8128252421.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di μ.

 

Le costanti A e B sono note come “costanti di Young – Fejér – Jackson”.

 

Horst Halzer e Stamatis Koumandos dimostrarono nel 2001 che per 0 < θ < π:

  • Disuguaglianza soddisfatta da una somma di coseni;

  • Disuguaglianza soddisfatta da una somma di seni, per n pari e α ≈ 0.663953.

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