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Leyland (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Leyland” i numeri naturali della forma xy + yx, con x e y interi maggiori di 1 (precisazione importante, altrimenti tutti gli interi positivi sarebbero numeri di Leyland, in quanto della forma n1 + 1n).

Prendono il nome dal matematico Paul Leyland, che li esaminò, scoprendo tra essi numerosi primi.

 

La tabella seguente riporta i numeri di Leyland inferiori a 109.

x

y

Numero

2

2

8

3

2

17

4

2

32

3

3

54

5

2

57

6

2

100

4

3

145

7

2

177

8

2

320

5

3

368

4

4

512

9

2

593

6

3

945

10

2

1124

5

4

1649

11

2

2169

7

3

2530

12

2

4240

6

4

5392

5

5

6250

8

3

7073

13

2

8361

14

2

16580

7

4

18785

9

3

20412

6

5

23401

15

2

32993

10

3

60049

16

2

65792

8

4

69632

6

6

93312

7

5

94932

17

2

131361

11

3

178478

18

2

262468

9

4

268705

7

6

397585

8

5

423393

19

2

524649

12

3

533169

20

2

1048976

10

4

1058576

13

3

1596520

7

7

1647086

8

6

1941760

9

5

2012174

21

2

2097593

22

2

4194788

11

4

4208945

14

3

4785713

8

7

7861953

23

2

8389137

10

5

9865625

9

6

10609137

15

3

14352282

24

2

16777792

12

4

16797952

8

8

33554432

25

2

33555057

16

3

43050817

9

7

45136576

11

5

48989176

10

6

61466176

26

2

67109540

13

4

67137425

17

3

129145076

27

2

134218457

9

8

177264449

12

5

244389457

28

2

268436240

14

4

268473872

10

7

292475249

11

6

364568617

18

3

387426321

29

2

536871753

9

9

774840978

 

Tra i numeri di Leyland si conoscono 238 primi, noti come “primi di Leyland”; i minimi esempi sono: 32 + 23 = 17, 92 + 29 = 593, 152 + 215 = 32993, 212 + 221 = 2097593, 332 + 233 = 8589935681, 245 + 524 = 59604644783353249, 563 + 356 = 523347633027360537213687137, 3215 + 1532 = 43143988327398957279342419750374600193.

Qui trovate i primi 48 numeri di Leyland primi (Lekray Beedassy e Jens Kruse Andersen, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Il massimo primo di Leyland noto è 86562929 + 29298656 (Anatoly Selevich).

Tra i numeri di Leyland si conoscono inoltre 765 primi probabili, il massimo dei quali è 3147689 + 9314768 (Anatoly Selevich).

 

I primi di Leyland si ottengono da valori di x o y composti; l’unica eccezione è 32 + 23 = 17; infatti, se x e y sono entrambi dispari, il numero di Leyland risultante è pari, mentre 17 è l’unico primo della forma p2 + 2p con p primo, perché per p > 3 il numero risultante è multiplo di 3.

 

Questi numeri sono facili da esprimere e da calcolare, ma non hanno una forma che faciliti la scomposizione, come invece accade per esempio con i numeri di Cunningham o quelli di Mersenne, quindi sono considerati un difficile banco di prova per gli algoritmi di scomposizione in fattori primi e di esame di primalità.

 

Le uniche potenze note tra i numeri di Leyland sono potenze di 2; a parte il caso 42 + 24 = 32 = 25, le altre si hanno per x = y = 2n e quindi sono della forma Forma dei numeri di Leyland che sono potenze di 2 e in particolare:

  • non sono mai quadrati;

  • sono cubi per n della forma 6k + 1 e 6k + 2;

  • sono quinte potenze per n della forma 20k + 3, 20k + 4, 20k + 6 e 10k + 17;

  • sono settime potenze per n della forma 21k + 5, 21k + 6 e 21k + 10.

Vedi anche

Primi (numeri).

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