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Carmichael gemelli (numeri di)

Teoria dei numeri 

Romeo Meštrović suggerì nel 2013 di chiamare “gemelli” due numeri di Carmichael se tra essi non si trova alcun numero di Carmichael debole che non sia una potenza di un numero primo.

Le coppie inferiori a 106 sono:

  • 2465 e 2821,

  • 62745 e 63973,

  • 512461 e 530881,

  • 656601 e 658801,

  • 658801 e 670033,

  • 838201 e 852841.

Qui trovate le coppie inferiori a 109 (M. Fiorentini 2013).

 

Meštrović avanzò la congettura che queste coppie siano infinite; al momento sembra persino più difficile da dimostrare della congettura dei primi gemelli.

 

A differenza di quanto accade con i numeri primi, sono possibili sequenze di numeri di Carmichael gemelli consecutivi; quelle inferiori a 109 sono (M. Fiorentini 2013):

  • 656601, 658801, 670033;

  • 5968873, 6049681, 6054985;

  • 9582145, 9585541, 9613297;

  • 45877861, 45890209, 46483633;

  • 67653433, 67902031, 67994641;

  • 84311569, 84350561, 84417985;

  • 171454321, 171679561, 172290241;

  • 193708801, 193910977, 194120389, 194675041;

  • 230630401, 230996949, 231194965;

  • 357277921, 357380101, 358940737;

  • 367804801, 367939585, 368113411;

  • 393122521, 393513121, 393716701, 395044651, 395136505, 396262945;

  • 557160241, 557795161, 558570961;

  • 703995733, 704934361, 705101761;

  • 710382401, 710541481, 711374401;

  • 775368901, 775866001, 776176261;

  • 832060801, 833608321, 834244501, 834720601, 836515681;

  • 939947009, 940123801, 941056273;

  • 958735681, 958762729, 958970545.

Non è noto se possano esistere sequenze di qualsiasi lunghezza.

 

Se modifichiamo la definizione, richiedendo che non vi siano neppure potenze di primi tra due numeri di Carmichael consecutivi, le coppie di questo genere diventano più rare; quelle inferiori a 109 sono (M. Fiorentini 2013):

  • 658801 e 670033,

  • 4903921 e 4909177,

  • 6049681 e 6054985,

  • 8341201 e 8355841,

  • 8719309 e 8719921,

  • 9582145 e 9585541,

  • 9585541 e 9613297,

  • 12261061 e 12262321,

  • 15829633 e 15888313,

  • 38624041 e 38637361,

  • 41341321 e 41471521,

  • 43584481 e 43620409,

  • 45877861 e 45890209,

  • 75681541 e 75765313,

  • 84311569 e 84350561,

  • 99830641 e 99861985,

  • 104569501 e 104852881,

  • 105869401 e 106041937,

  • 151530401 e 151813201,

  • 188516329 e 188689501,

  • 214850881 e 214852609,

  • 289766701 e 289860481,

  • 295643089 e 295826581,

  • 357277921 e 357380101,

  • 393122521 e 393513121,

  • 395044651 e 395136505,

  • 413058601 e 413138881,

  • 440306461 e 440707345,

  • 517937581 e 518117041,

  • 556199281 e 556450777,

  • 561481921 e 561777121,

  • 625060801 e 625482001,

  • 704934361 e 705101761,

  • 710382401 e 710541481,

  • 809702401 e 809883361,

  • 824389441 e 824405041,

  • 834244501 e 834720601,

  • 851703301 e 851934601,

  • 954732853 e 955134181,

  • 958735681 e 958762729,

  • 958762729 e 958970545,

  • 962442001 e 962500561,

  • 963163201 e 963168193,

  • 993420289 e 993905641.

 

In questo caso le sequenze sono veramente rare; quelle inferiori a 109 sono solo due: 9582145, 9585541, 9613297 e 958735681, 958762729, 958970545. (M. Fiorentini 2013).

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