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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Formule che legano ζ ad altre funzioni
  4. 4. Formule per valori specifici
  5. 5. Valori

ζ(z) è la funzione zeta di Riemann, definita originariamente come la somma dei reciproci dei numeri naturali da 1 a infinito, elevati alla z: Formula per la definizione della funzione ζ, per z diverso da 1.

 

Eulero risolse nel 1735 il “problema di Basilea”; vale a dire il calcolo di ζ(2), che aveva tenuto in scacco per anni i matematici europei. Proposto da Pietro Mengoli (1625 – 1686), era stato affrontato senza successo da grandi matematici, come Wallis, Leibniz, Jakob Bernoulli (1645 – 1705) e suo fratello Johann (1654 – 1705).

Eulero calcolò anche esplicitamente tutti i valori di ζ(2n) sino a ζ(26).

 

Nel 1859 Riemann estese la definizione della funzione, nata con argomenti interi, ad argomenti reali e complessi, tramite continuazione analitica. La definizione originale continua a essere largamente usata in letteratura perché semplice e facile da comprendere, ma in realtà è valida solo per argomenti reali maggiori di 1.

 

La definizione può essere riscritta come Formula per il calcolo della funzione ζ, che fornisce una formula migliore per il calcolo: Formula per il calcolo della funzione ζ, oltre al risultato interessante Formula per il calcolo della funzione γ. Altre semplici operazioni permettono di arrivare alla formula Formula per il calcolo della funzione ζ, anche più efficiente.

 

Per argomenti negativi valgono le relazioni Formula per il calcolo della funzione ζ(detta “equazione funzionale di Riemann”, suggerita da Eulero nel 1749 e dimostrata da Riemann nel 1859) e Formula per il calcolo della funzione ζ, per n intero non negativo.

 

Tra le applicazioni, la probabilità che n interi scelti a caso non abbiano un divisore comune tende, al crescere dell’intervallo nel quale sono scelti i numeri, a 1 diviso ζ(n).

 

Definendo una funzione S(n) come Formula per la definizione della funzione S, valgono alcune notevoli identità: S(0) = logπ – log2 ≈ 0.4515827053, S(1) = 1 – log2 ≈ 0.3068528194, Valore di S(2), Valore di S(3), Valore di S(4). La combinazione di queste porta a serie a convergenza rapida per il calcolo della funzione ζ, come: Formula per il calcolo di ζ(3) (Eulero) e Formula per il calcolo di ζ(3) (Wilton, 1922).

 

Negli anni sono state proposte miriadi di varianti della funzione ζ, definite tramite formule del tipo Formula per la definizione di una variante della funzione ζ, dove f(n) è una qualche funzione di n, spesso legate a varie versioni dell'ipotesi di Riemann. Il loro numero è aumentato a tal punto che che Selberg nella seconda metà del secolo scorso propose uno scherzoso “patto di non proliferazione delle funzioni ζ”.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Sabbagh, Karl;  Dr. Riemann’s Zeros, Londra, Atlantic Books, 2002.
  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Varga, Richard S.;  Scientific Computation on Mathematical Problems and Conjectures, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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