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Lehmer (congettura di) (II)

Algebra  Congetture 

Derrick Henry Lehmer (Berkeley, California, 23/2/1905 – Berkeley, California, 22/5/1991) avanzò la congettura che esista una costante reale μ maggiore di 1 (detta “costante di Lehmer”), tale che dato un polinomio P(x) a coefficienti interi, per la misura Mahler M(P) (v. costante di Lehmer) valga una delle due condizioni:

 

Il polinomio a coefficienti interi, che non sia prodotto di monomi x e polinomi ciclotomici, con la minima misura di Mahler nota (maggiore di 1) è P(x) = x10 + x9x7x6x5x4x3 + x + 1, le cui radici sono circa: 1.1762808183, 0.8501371309, 0.4568658507 ± 0.8895356061i, –0.2923319977 ± 0.9563168947i, –0.7344380050 ± 0.6786757819i, –0.9433048226 ± 0.3319277206i. Le radici complesse hanno valore assoluto 1, una radice reale è minore di 1, quindi la misura di Mahler del polinomio è uguale alla massima radice reale, ossia 1.1762808183, che è il numero di Salem S1.

Gli esperti ritengono che questo sia il valore della costante μ.

 

Negli anni sono stati compiuti notevoli progressi verso la dimostrazione della congettura, oggi ritenuta vera.

 

Chris J. Smyth nel 1971 dimostrò che la congettura di Lehmer vale per i polinomi P non reciproci, ossia tali che xnP(x–1) ≠ P(x), dove n è il grado di P.

Per questi polinomi la costante può essere aumentata alla costante di plastica (radice reale dell’equazione x3x – 1 = 0), che vale circa 1.3247179572, e se tutti i coefficienti sono dispari, a φ, (radice reale dell’equazione x2x – 1 = 0).

 

D. Boyd, M. Mossinghoff e G. Rhin verificarono nel 2003 la congettura di Lehmer per tutti i polinomi di grado fino a 40.

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