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Lehmer (congettura di) (II)

Algebra  Congetture 

Derrick Henry Lehmer (Berkeley, California, 23/2/1905 – Berkeley, California, 22/5/1991) avanzò la congettura che esista una costante reale μ maggiore di 1 (detta “costante di Lehmer”), tale che dato un polinomio P(x) a coefficienti interi, per la misura Mahler M(P) (v. costante di Lehmer) valga una delle due condizioni:

 

Il polinomio a coefficienti interi, che non sia prodotto di monomi x e polinomi ciclotomici, con la minima misura di Mahler nota (maggiore di 1) è P(x) = x10 + x9x7x6x5x4x3 + x + 1, le cui radici sono circa: 1.1762808183, 0.8501371309, 0.4568658507 ± 0.8895356061i, –0.2923319977 ± 0.9563168947i, –0.7344380050 ± 0.6786757819i, –0.9433048226 ± 0.3319277206i. Le radici complesse hanno valore assoluto 1, una radice reale è minore di 1, quindi la misura di Mahler del polinomio è uguale alla massima radice reale, ossia 1.1762808183, che è il numero di Salem S1.

Gli esperti ritengono che questo sia il valore della costante μ.

 

Chris J. Smyth nel 1971 dimostrò che la congettura di Lehmer vale per i polinomi P non reciproci, ossia tali che xnP(x–1) ≠ P(x), dove n è il grado di P.

Per questi polinomi la costante può essere aumentata alla costante di plastica (radice reale dell’equazione x3x – 1 = 0), che vale circa 1.3247179572, e se tutti i coefficienti sono dispari, a φ, (radice reale dell’equazione x2x – 1 = 0).

 

V. Flammang, M. Grandcolas e Georges Rhin dimostrarono nel 1997 la congettura di Lehmer per tutti i polinomi di grado fino a 40; Mossinghoff, Rhin e Qiang Wu la dimostrarono nel 2008 per tutti i polinomi di grado fino a 44.

 

P.E. Blansy e H.L. Montgomery dimostrarono nel 1971 che μ > 1+ 1 / (52 * d * log(6 * d)), dove d è il grado del polinomio.

 

Nel 2007 P. Borwein, E. Dobrowlski e Mossinghoff dimostrarono che per i polinomi con coefficienti dispari μ ≥ 5^(1 / 4).

 

Finalmente nel 2017 Jean-Louis Verger-Gaugry dimostrò che μ ≥ 1 / θ, dove θ è la radice dell’equazione x259 + x – 1 = 0 nell’intervallo (0 .. 1) e vale circa 0.9841299079.

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