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Salem (numeri di)

Algebra 

Si chiamano “numeri di Salem”, in onore di Raphaël Salem (Salonicco, allora Impero Ottomano, oggi Grecia, 7/11/1898 – Parigi, 20/6/1963), gli interi algebrici reali maggiori di 1 che hanno almeno una radice coniugata (ossia un numero che è radice del polinomio di minimo grado che ha il numero di Salem come radice) con valore assoluto 1 e le restanti radici coniugate con valore assoluto non superiore a 1.

I numeri di Salem sono quindi radici di un polinomio a coefficienti interi, maggiori in valore assoluto delle altre radici dello stesso polinomio, sono pertanto numeri di Perron.

 

Il fatto che abbiano una radice coniugata con valore assoluto uguale a 1 implica che il polinomio di minimo grado che ha un numero di Salem come radice:

  • abbia il reciproco del numero come radice e tutte le altre radici complesse con valore assoluto 1;

  • sia di grado maggiore di 2, perché ha almeno 3 radici;

  • sia palindromo, ossia col coefficiente del termine di grado massimo uguale a quello del termine di grado zero, quello di grado immediatamente inferiore uguale a quello di grado 1 e così via;

  • sia di grado pari, perché un polinomio palindromo di grado dispari ha –1 come radice e quindi è riducibile.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri di Salem Sn noti, con i minimi polinomi che li hanno come radice.

n

Equazione

Grado

Sn (approssimato)

1

x10 + x9x7x6x5x4x3 + x + 1 = 0

10

1.1762808183

2

x18x17 + x16x15x12 + x11x10 + x9x8 + x7x6x3 + x2x + 1

18

1.1883681475

3

x14x11x10 + x7x4x3 + 1

14

1.2000265240

4

x14x12x7 – x2 + 1

14

1.2026167437

5

x10x6x5x4 + 1

10

1.2163916611

6

x18x17x10 + x9x8x + 1

18

1.2197208590

7

x10x7x5x3 + 1

10

1.2303914344

8

x20x19x15 + x14x11 + x10x9 + x6x5x + 1

20

1.2326135486

9

x22x20x19 + x15 + x14x12x11x10 + x8 + x7x3x2 + 1

22

1.2356645804

10

x16x15x8x + 1

16

1.2363179318

11

x26x24x21x18 + x16 + x13 + x10x8x5x2 + 1

26

1.2375048212

12

x12x11 + x10x9x6x3 + x2x + 1

12

1.2407264237

13

x18x12x11x10x9x8x7x6 + 1

18

1.2527759374

14

x20x18x15x5x2 + 1

20

1.2533306502

15

x14x12x11 + x9x7 + x5x3

14

1.2550935168

16

x18x17x14 + x13x9 + x5x4x + 1

18

1.2562211544

17

x24x23x20 + x19x17 + x16x15 + x13x12 + x11x9 + x8x7 + x5x4x + 1

24

1.2601035404

18

x22x21x19 + x18x14 + x13x12 + x11x10 + x9x8 + x4x3x + 1

22

1.2602842369

19

x10x8x5x2 + 1

10

1.2612309611

20

x26x25x20 + x13x6x + 11

26

1.2630381399

 

Tutte le potenze di un numero di Salem con esponente intero positivo sono numeri di Salem dello stesso grado.

 

I numeri di Salem condividono con i numeri di Pisot – Vijayaraghavan una proprietà insolita: per ogni numero di Salem e ogni numero reale positivo ε, esiste un numero reale a tale che la differenza tra asn e l’intero più vicino è minore di ε per ogni intero positivo n.

 

Il grande problema irrisolto sui numeri di Salem è se esistano un minimo o un estremo inferiore maggiori di 1; la congettura prevalente è che S1 sia il minimo numero di Salem.

David W. Boyd avanzò nel 1977 la congettura più forte che i primi tre elementi della tabella siano i minimi numeri di Salem; il minimo numero di Salem sarebbe quindi S1, ma la stessa esistenza di un minimo non è ancora stata dimostrata e la numerazione dei numeri di Salem (in ordine crescente) va ritenuta solo provvisoria.

Boyd avanzò anche la congettura che l’unione dei numeri di Salem e dei numeri di Pisot – Vijayaraghavan sia un insieme chiuso.

 

M.J. Mossinghoff dimostrò nel 1998 che non vi sono numeri di Salem minori di S1 di grado fino a 40.

Convenzionalmente si chiamano “piccoli” i numeri di Salem minori di 1.3; si conoscono solo 47 piccoli numeri di Salem, due soli dei quali di grado superiore a 40.

V. Flammang, M. Grandcolas e G. Rhin dimostrarono nel 1997 che non vi sono altri piccoli numeri di Salem di grado non superiore a 40; Michael J. Mossinghoff, Georges Rhin e Qiang Wu dimostrarono nel 2008 che non ve ne sono altri di grado non superiore a 44.

 

Le misure di Mahler Mk(P) di un polinomio P sono misure abbastanza complicate del grado di variabilità delle soluzioni (v. costante di Lehmer (II)). Si può dimostrare che la più semplice, M1(P), equivale a Formula per la definizione della misura di Mahler M1(P), dove a è il coefficiente del termine di grado massimo e i vari xn sono le radici, reali o complesse.

Le misure di Mahler M1(P) dei polinomi ciclotomici hanno misura 1, come pure il polinomio costante P(x) = 1; il problema di Lehmer – Mahler è la determinazione del polinomio P a coefficienti interi con minimo valore di M1(P) maggiore di 1.

D.H. Lehmer nel 1933 avanzò la congettura che un minimo esista e che il polinomio x10 + x9x7x6x5x4x3 + x + 1, da allora detto “polinomio di Lehmer”, sia quello con la misura minima maggiore di 1, uguale a S1. Dato che i polinomi che hanno per radice i numeri di Salem hanno tutte le radici tranne due sul cerchio di raggio 1 intorno all’origine (nel piano complesso), quindi con valore assoluto 1, una all’interno e un’altra all’esterno, con valore assoluto superiore a 1, la loro misura di Mahler è uguale al corrispondente numero di Salem, perciò la ricerca del polinomio con misura minima equivale alla ricerca del minimo numero di Salem.

Da notare che il polinomio deve essere palindromo, perché C.J. Smyth dimostrò nel 1971 che la costante di plastica è il limite inferiore di M1(P) per i polinomi non simmetrici e di grado pari, perché un polinomio palindromo di grado dispari ha –1 come radice e quindi è riducibile.

 

Salem dimostrò che i numeri di Salem possono essere trovati a partire dai numeri di Pisot – Vijayaraghavan: dato il minimo polinomio P(x) che ha per radice uno di questi, si scrive il polinomio xnP(x) ± P*(x), dove P*(x) è il polinomio reciproco di P(x); ottenuto invertendo l’ordine dei coefficienti di quest’ultimo (cioè scambiando il coefficiente del termine di grado massimo con quello del termine di grado zero, quello di grado immediatamente inferiore con quello di grado 1 e così via), per n intero maggiore di un limite che dipende dal polinomio. Scomposto il polinomio risultante ed eliminati eventualmente dei polinomi ciclotomici che lo dividono, quello che resta è un polinomio che ha per radice un numero di Salem.

Per esempio, partendo dal Polinomio P(x) = x3x – 1, P*(x) = –x3x2 + 1 e prendendo n = 8, dopo qualche semplificazione si arriva a (x – 1)(x10 + x9x7x6x5x4x3 + x + 1), ossia al prodotto di un polinomio ciclotimico per il polinomio di Lehmer.

Al crescere di n si trovano numeri di Salem che sempre maggiori, che tendono alla massima radice reale di P(x), quindi alla costante di plastica, radice di x3x – 1, nel caso dell’esempio.

David W. Boyd dimostrò nel 1977 che tutti i numeri di Salem possono essere ottenuti in questo modo, con una piccola modifica al metodo se il polinomio P è palindromo. In particolare Boyd dimostrò che tutti i numeri di Salem sono radici di xnP(x) – P*(x) = 0, per un qualche polinomio P(x) che abbia per radice un numero di Pisot – Vijayaraghavan e un opportuno valore di n.

 

Salem dimostrò nel 1963 la sequenza delle parti frazionarie delle potenze di un numero di Salem è densa, ma non uniformemente distribuita nell’intervallo (0 .. 1).

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