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Perron (numeri di)

Algebra 

Si chiamano “numeri di Perron” gli interi algebrici reali x di grado maggiore di 1, ossia radici di un polinomio di grado almeno 2, maggiori di 1 e maggiori in valore assoluto di tutti gli elementi coniugati, ossia delle altre radici del polinomio di grado minimo che ha x come radice.

Per esempio, la costante plastica, ossia la radice reale dell’equazione x3x – 1 = 0 è un numero di Perron, perché vale circa 1.3247179572 e le altre due radici dell’equazione, circa uguali a –0.6623589786 ± 0.5622795121i, hanno valore assoluto inferiore, circa uguale a 0.8688369618.

 

Prendono il nome dal matematico tedesco Oskar Perron (Frankenthal, Germania, 7/5/1880 – Monaco, Germania, 22/2/1975).

 

In particolare sono numeri di Perron:

 

I numeri di Perron condividono alcune proprietà con i numeri naturali: formano un insieme chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione e tra essi ve ne sono di irriducibili, ossia non esprimibili come prodotto di altri numeri di Perron, quindi in un certo senso “primi”. La scomposizione di un numero di Perron come prodotto di numeri di Perron irriducibili non è unica, ma è possibile solo un numero finito di scomposizioni distinte (Douglas Lind, 1984).

 

Il minimo numero di Perron di grado d non supera Limite superiore per il minimo numero di Perron di grado d, per d > 2.

 

D.W. Boyd calcolò nel 1985 il minimo numero di Perron di grado da 1 a 12 e avanzò la congettura che il minimo di grado d sia la massima soluzione reale dell’equazione:

  • xdx – 1 = 0, se d è non è della forma 6k + 3 o 6k + 5;

  • Equazione che ha per soluzione un numero di Perron di grado d, se d è della forma 6k + 3;

  • Equazione che ha per soluzione un numero di Perron di grado d, se d è della forma 6k + 5.

Quiang Wu estese nel 2010 il calcolo sino al grado 24, confermando la congettura entro tale limite.

 

La tabella seguente mostra i minimi numeri di Perron di grado fino a 24.

Grado

Equazione

Minimo numero di Perron

2

x2x – 1

1.6180339887

3

x3x – 1

1.3247179572

4

x4x – 1

1.2207440846

5

x5 + x4x2x – 1

1.1237328210

6

x6x – 1

1.1347241384

7

x7x – 1

1.1127756843

8

x8x – 1

1.0969815578

9

x9 + x8x6x5 + x3x – 1

1.0815290867

10

x10x – 1

1.0757660661

11

x11 + x10x8x7 + x5 + x4x2x – 1

1.0682971889

12

x12x – 1

1.0621691679

13

x13x – 1

1.0570505752

14

x14x – 1

1.0527109201

15

x15 + x14x12x11 + x9 + x8x6x5 + x3x – 1

1.0475956367

16

x16x – 1

1.0457510242

17

x17 + x16x14x13 + x11 + x10x8x7 + x5 + x4x2x – 1

1.0393021163

18

x18x – 1

1.0404149478

19

x19x – 1

1.0381880194

20

x20x – 1

1.0361937171

21

x21 + x20x18x17 + x15 + x14x12x11 + x9 + x8x6x5 + x3x – 1

1.0336656292

22

x22x – 1

1.0327709664

23

x23 + x22x20x19 + x17 + x16x14x13 + x11 + x10x8x7 + x5 + x4x2x – 1

1.0293201426

24

x24x – 1

1.0299396967

 

Nel 1984 Douglas Lind dimostrò che un numero reale maggiore di 1 è un numero di Perron se e solo se è il massimo valore assoluto degli autovalori di una matrice quadrata di numeri interi maggiori di zero.

 

Una matrice quadrata di numeri reali non negativi si dice “aperiodica” se una sua potenza contiene solo numeri maggiori di zero;

Nel 1989 Lind dimostrò che il massimo valore assoluto degli autovalori di una matrice quadrata aperiodica contenente solo zeri e numeri di Perron è un numero di Perron.

Lind dimostrò anche che, data una matrice aperiodica r × r di interi non negativi, esiste un autovettore associato all’autovalore di massimo valore assoluto le cui componenti non superano in valore assoluto Limite superiore per il valore assoluto delle componenti dell'autovettore, dove M è il massimo degli elementi della matrice.

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