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Espansione di Lehmer

Rappresentazione dei numeri 

Ogni numero irrazionale x ha un’unica rappresentazione come frazione continua semplice infinita: Rappresentazione di x tramite frazione continua, dove i vari qn sono interi (positivi se n > 0), mentre ogni frazione del genere converge a un numero reale.

Derrick Henry Lehmer (Berkeley, California, 23/2/1905 – Berkeley, California, 22/5/1991) trovò nel 1938 un’interessante rappresentazione analoga, dimostrando che ogni numero reale positivo ha anche un’unica rappresentazione come Rappresentazione di x tramite espansione di Lehmer, dove i vari an sono interi non negativi e Diseguaglianza soddisfatta dai termini dell’espansione di Lehmer per n > 0, e che viceversa ogni serie del genere è convergente. I termini sono in numero finito se e solo se x è razionale.

Lehmer dimostrò anche che dalla sua espansione si può ottenere una rappresentazione come frazione continua non semplice: Rappresentazione di x tramite frazione continua ricavata dall’espansione di Lehmer. Tali frazioni continue convergono molto rapidamente, perché i denominatori aumentano velocemente, e forniscono approssimazioni eccellenti anche con pochi termini.

Per la somiglianza con le frazioni continue, le espansioni di Lehmer sono talvolta chiamate “cotangenti continue”.

 

L’espansione di un numero reale x si può ricavare con una ricorrenza: x0 = x, Formula per a(0), Formula per x(n + 1), Formula per a(n + 1), terminando se xn = an.

 

Il fatto che i valori dei termini aumentino molto rapidamente fa sì che con pochi termini si ottengano ottime approssimazioni, ma il fatto che non siano razionali e che anzi il calcolo implichi il calcolo di funzioni trascendenti le rende inutili da un punto di vista pratico nel calcolo numerico.

 

Jeffrey Shallit dimostrò nel 1976 che i numeri della forma Formula per x con c intero positivo hanno un’espansione di Lehmer particolarmente regolare: Formula per a(n), dove α e β sono le radici dell’equazione y2cy – 1 = 0, ossia Formula per α e β. I termini si possono anche ricavare dalla ricorrenza: Formula per a(0), Formula per a(n + 1).

Prendendo c = 1 otteniamo che nel caso di φ i termini sono numeri di Lucas: Formula per a(n), mentre prendendo c = 2 otteniamo i termini della rappresentazione di 1 + sqrt(2).

Esiste un’altra espansione simile di φ tramite numeri di Fibonacci: an = F2k + 2, ma non è un’espansione di Lehmer, perché i termini non aumentano abbastanza velocemente.

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