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Legendre (costante di)

Teoria dei numeri 

Esaminando tabelle di numeri primi, Adrien-Marie Legendre (Parigi, 18/9/1752 – 10/1/1833) suppose nel 1796 che π(n) tenda a Comportamento asintotico della funzione π ipotizzato da Legendre, dove A e B sono costanti, ma in seguito si convinse che A = 1 e pubblicò la sua congettura in Essai sur la Théorie des Nombres (Parigi, Duprat, 1808) nella forma Comportamento asintotico della funzione π ipotizzato da Legendre. La costante B è da allora nota come “costante di Legendre”.

 

Legendre suppose che B valesse 1.08366, che è spesso erroneamente citato come valore della costante. L’importanza della congettura di Legendre sta nell’esistenza della costante, che implica il teorema dei numeri primi, cioè il comportamento asintotico della distribuzione dei numeri primi, più che nel valore della costante, che venne determinata in seguito: nel 1896 de La Vallée Poussin dimostrando il teorema dei numeri primi provò che la costante è 1.

 

Non è chiaro su cosa Legendre basasse la sua stima della costante: la tabella seguente mostra i valori che si otterrebbero utilizzando i numeri primi sino a 10n, per n da 1 a 23.

n

π(n)

log(n) - n / π(n)

10

4

–0.1974149070

102

25

0.6051701860

103

168

0.9553743266

104

1,229

1.0736438708

105

9,592

1.0875710029

106

78,498

1.0763324897

107

664,579

1.0709755945

108

5,761,455

1.0639540143

109

50,847,534

1.0566287096

1010

455,052,511

1.0503651162

1011

4,118,054,813

1.0451264166

1012

37,607,912,018

1.0408716941

1013

346,065,536,839

1.0373454274

1014

3,204,941,750,802

1.0343761753

1015

29,844,570,422,669

1.0318441175

1016

279,238,341,033,925

1.0296604050

1017

2,623,557,157,654,233

1.0277577614

1018

24,739,954,287,740,860

1.0260851213

1019

234,057,667,276,344,607

1.0246031187

1020

2,220,819,602,560,918,840

1.0232808730

1021

21,127,269,486,018,731,928

1.0220938050

1022

201,467,286,689,315,906,290

1.0210221552

1023

1,925,320,391,606,803,968,923

1.0200498402

Se Legendre avesse avuto a disposizione una tabella simile, avrebbe probabilmente stimato correttamente il valore della costante; le tabelle disponibili ai suoi tempi arrivavano però solo fino a 2856000 (A. Felkel, 1796) e il valore di log(n) - n / π(n) oscilla irregolarmente, aumentando fino a circa 1.1119625214 per n = 24137, per poi diminuire, ma sempre oscillando. E’ probabile che Legendre abbia interpretato le oscillazioni come un inizio di stabilizzazione intorno a un valore e che abbia utilizzato tabelle ancora più limitate (per esempio, per n = 280751 il valore è circa 1.0836598501, il più vicino al valore di Legendre).

Chebyshev nel 1850 dimostrò che se la congettura è vera, B deve essere 1 e ipotizzò che la stima di Legendre fosse basata sulle tabelle dei primi fino a un milione, ma già intorno a quel numero il valore suggerito dalle tabelle è decisamente inferiore a quello proposto dal matematico francese.

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