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Iperperfetti esponenziali (numeri)

Teoria dei numeri 

La definizione dei numeri iperperfetti esponenziali è uguale a quella dei numeri iperperfetti, sostituendo alla somma dei divisori quella dei divisori esponenziali. Quindi se n = 1 + ke(n) – n – 1), n si dice “k-iperperfetto esponenziale”.

Se k = 1, abbiamo i numeri perfetti esponenziali.

 

Tutti i numeri k-iperperfetti esponenziali noti con k > 1 sono della forma mpr, con p primo e m uguale a 1 o prodotto di primi diversi e diversi da p.

 

Non si conosce una classificazione completa dei numeri iperperfetti esponenziali, ma sono note tre famiglie infinite:

  • tutti i numeri perfetti esponenziali sono 1-iperperfetti esponenziali;

  • se n = pq con p e q primi, n è k-iperperfetto esponenziale con Formula per k;

  • dato un primo p e un intero m prodotto di primi distinti e diversi da p e q = mp – 1, allora per ogni primo r della forma sφ(q) + 1, n = mpr è k-iperperfetto esponenziale, con Formula per k; esistono infinite possibilità di scelta per p e q e il teorema di Dirichlet ci assicura che per ciascuna abbiamo infiniti primi r della forma desiderata, quindi i numeri k-iperperfetti di questa forma sono infiniti.

 

Come esempio della terza famiglia con q primo, per p = 3 e m = 2 abbiamo q = 5; una possibile scelta per r è 13 e 2 ∙ 313 = 3188646 è 637729-iperperfetto esponenziale.

Come esempio della terza famiglia con q composto, per p = 7 e m = 15 abbiamo q = 104; φ(104) = 48, una possibile scelta per r è 97 e 15 ∙ 797 è iperperfetto esponenziale.

 

Esiste anche almeno un’altra famiglia, probabilmente infinita, ma non è stato dimostrato, di numeri iperperfetti esponenziali: dato un primo p e un numero naturale m prodotto di primi distinti e diversi da p, se q = mp2 + mp – 1 è tale che pφ(q) – 1m(m + 2) mod q, allora n = mp4 è k-iperperfetto esponenziale, con Formula per k.

Per esempio, per p = 11, una possibile scelta è q = 1319 e m = 10 e 10 ∙ 114 = 146410 è 111-iperperfetto esponenziale.

 

I numeri iperperfetti esponenziali che non appartengono a una delle suddette famiglie sono rarissimi: l’unico inferiore a 107 è 13312 = 210 ∙ 13, che è 27-iperperfetto.

 

La tabella seguente mostra i numeri iperperfetti esponenziali minori di 107 diversi dalle potenze di primi e dai numeri perfetti esponenziali (M. Fiorentini, 2013).

n

k

96

19

162

7

486

97

640

71

1408

67

1701

85

10935

781

13312

27

14406

43

24576

4915

34816

1055

40960

4551

41553

742

50421

2521

57344

4411

65625

631

76545

736

90112

4291

96256

1035

133407

733

146410

111

156250

17361

188416

4187

234375

16741

270336

4159

386561

2416

393216

78643

434176

4135

483328

4131

722701

2409

1122304

4111

1328125

15811

2400256

4103

2621440

291271

3188646

637729

5595136

4099

5636096

66307

5767168

274627

6156502

507

6796875

15661

7263027

59533

7797153

28666

7890625

15656

7971615

569401

9058973

119197

 

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