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Lebesgue (costanti di) (II)

Analisi 

Data una funzione f definita in un intervallo di estremi a e b e un insieme S = { x1, x2, … xn }di n punti nello stesso intervallo, si può calcolare calcolare un’interpolazione polinomiale col metodo di Lagrange, ossia un’approssimazione polinomiale P(x) di grado n – 1 della funzione f, utilizzando i punti di S, vale a dire un polinomio tale che suo il grafico contenga i punti (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), … (xn, f(xn)).

Sono chiamate “costanti di Lebesgue”, le costanti Λn(S) che danno una misura della bontà dell’approssimazione, nel senso che Formula per la definizione delle costanti di Lebesgue, dove P*(x) è la migliore possibile approssimazione polinomiale di grado n alla funzione nello stesso intervallo.

 

Le costanti possono essere calcolate come Formula per il calcolo delle costanti di Lebesgue.

 

In pratica le costanti offrono una guida alla scelta dei punti da utilizzare per le interpolazioni, perché si cerca di scegliere i punti di S in modo tale da renderle minime.

Tuttavia per qualsiasi scelta dei punti e per tutti i valori di n Limite inferiore per il valore di Λ(n), dove C è una costante (Erdös, 1961), quindi per ogni scelta di S esistono funzioni continue per le quali la convergenza non è uniforme.

 

Nell’intervallo [–1 .. 1] se i punti di S sono equidistanti, le costanti crescono esponenzialmente, nel senso che Λn(S) tende a Limite cui tende Λ(n), mentre utilizzando come punti di S le radici Radici di Tn(x) dei polinomi di Chebyshev di prima specie Tn(x), la crescita è solo logaritmica, perché Limite superiore per il valore di Λ(n). In questo caso i valori di Λn(S) costituiscono una successione monotona decrescente, Limite superiore per il valore di Λ(n) (R. Günttner, 1994) e Limite asintotico cui tende Λ(n).

 

Le radici dei polinomi di Chebyshev di prima specie non costituiscono però l’insieme ottimale, nel senso di minimizzare i valori di Λn(S). Per esempio, utilizzando i punti Punti che costituiscono l'insieme S per n > 1 abbiamo che Limite asintotico cui tende Λ(n) (R. Günttner, 1994).

 

Sebbene una determinazione precisa degli insiemi ottimali sia un problema irrisolto nel caso generale, P. Vértesi dimostrò nel 1986 che utilizzando gli insiemi ottimali Limite asintotico cui tende Λ(n).

 

Se invece dell’interpolazione di Lagrange si utilizza l’interpolazione polinomiale di Hermite – Fejérn, che impiega polinomi di grado 2n – 1 e impone la condizione aggiuntiva che la derivata dei polinomi sia nulla in corrispondenza dei punti xk, le cose cambiano: al prezzo di aumentare il grado dei polinomi possiamo ridurre l’errore massimo e ottenere una convergenza uniforme.

Se aggiungiamo i punti x0 = –1 e x1 = 1, senza imporre per questi la condizione dell’azzeramento della derivata, possiamo ricavare polinomi di grado 2n + 1 e in questo caso le costanti Λn(S) sono minori di 3 e in particolare Limiti inferiore e superiore per i valori di Λ(n), dove la costante c vale 2 per n pari e ha un valore positivo differente per n dispari, e Limite asintotico cui tende Λ(n).

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