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Kurepa (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Nel 1971 il matematico iugoslavo Djuro Kurepa (Majske Poljane, Impero austro-ungarico, oggi Croazia, 16/8/1907 – Belgrado, 2/11/1993) avanzò la congettura che MCD(!n , n!) = 2 per n > 1 (v. fattoriali sinistri). Tale congettura è oggi chiamata “la” congettura di Kurepa, anche se il matematico in realtà propose altre due congetture meno note, sempre sui fattoriali sinistri.

 

Kurepa dimostrò che l’affermazione vale per infiniti interi e che un’affermazione equivalente è che p non divide !p per p primo dispari. Oggi la congettura è più nota in questa forma.

 

La congettura implica che per ogni intero m esista al massimo un numero finito di valori di n per i quali m2 divida !n.

La congettura implica che se p è primo maggiore di n e n > 3, !n ≡ (–1)nn!d(p – 1 – n) mod p, dove d(n) è il subfattoriale di n (Bernd C. Kellner, 2004).

 

La congettura è anche equivalente all’affermazione che bp – 1 – 1 non è multiplo di p per p primo dispari, dove bn è l’n-esimo numero di Bell.

 

Ž. Mijajlović dimostrò nel 1990 che la congettura di Kurepa è equivalente all’affermazione che Formula per un’affermazione equivalente alla congettura di Kurepa non è multiplo di p, per p primo dispari (intendendo le divisioni per k! come moltiplicazioni per l’inverso modulo p). M. Živković nel 1999 verificò la congettura in questa forma per i primi fino a 223 = 8388608.

 

Nel 2014 Romeo Meštrović dimostrò che per p primo dispari maggiore di 5, Congruenza soddisfatta da K(p), dove per n > 6 Kn è il determinante di ordine n – 4 definito come Formula per la definizione di K(p). In questo modo la congettura diviene equivalente al fatto che il determinante Kp non sia mai multiplo di p per p primo dispari.

Meštrović dimostrò che Kn non è multiplo di n per n pari, ma può essere multiplo di n, se n è composto e dispari; il minimo esempio (e tuttora l’unico conosciuto) è K11563, multiplo di 11563 = 31 · 373. Inoltre se n è dispari e composto, Knd(n – 1) mod n, dove d(n) è il subfattoriale di n.

Meštrović dimostrò anche che la congettura di Kurepa è equivalente all’affermazione che il numeratore della frazione Formula per un’affermazione equivalente alla congettura di Kurepa, una volta ridotta ai minimi termini, non è multiplo di n per n > 2.

 

La congettura implica che per ogni intero m esista al massimo un numero finito di valori di n per i quali m2 divida !n.

La congettura implica che se p è primo maggiore di n e n > 3, !n ≡ (–1)nn!d(p – 1 – n) mod p, dove d(n) è il subfattoriale di n (Bernd C. Kellner, 2004).

 

Nel 2012 Milos Tatarevic verificò la congettura fino a 109.

 

La prima delle altre congetture di Kurepa afferma !n non è multiplo di un quadrato, tranne !3 = 4. Ž. Mijalović verificò nel 1990 che, tranne nel caso citato, !n non è multiplo di k2 per k fino a 1223.

 

La seconda è che fattoriali sinistri diversi abbiano 2 come massimo comune divisore; oggi sappiamo che non è vero perché:

  • !7 = 874 = 2 • 19 • 23, !12 = 43954714 = 2 • 19 • 31 • 37313 e !16 = 1401602636314 = 2 • 19 • 41 • 491 • 1832213 condividono anche il fattore 19;

  • !16 = 1401602636314 = 2 • 19 • 41 • 491 • 1832213 e !25 = 647478071469567844940314 = 2 • 41 • 103 • 2875688099 • 26658285041 condividono anche il fattore 41.

Bibliografia

  • Meštrović, Romeo;  Variations of Kurepa's left factorial hypothesis, preprint arXiv:1312.7036v2, 2014.

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