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Iperreali (numeri)

Algebra 

I numeri iperreali sono un’estensione dei reali, costruita aggiungendo all'insieme dei reali numeri infinitamente grandi, maggiori di ogni numero reale, e i loro reciproci, minori di ogni numero reale positivo, ma considerati non nulli, detti infinitesimali.

 

Un numero iperreale x è infinito se non esiste un intero n tale che |x| < n; è infinitesimo se non è zero e non esiste un intero n tale che Valore assoluto di 1 / x minore di n.

 

I numeri iperreali formano un campo *R ordinato, ma non dotato della solita metrica, ossia nel quale non vale la comune definizione di “distanza” tra due numeri.

 

Il termine fu introdotto da Edwin Hewitt (Everett, Washington, 20/1/1920 – 21/6/1999) nel 1948.

 

Un numero iperreale a può essere definito tramite una una sequenza infinita di reali (a1, a2, a3, ...), che nel caso di un comune numero reale x si riduce a una sequenza di valori identici (x, x, x, ...). Ai numeri infinitamente grandi corrispondono sequenze divergenti e ai numeri infinitesimali sequenze convergenti a zero. L’esistenza di infinite sequenze dei due tipi ha come conseguenza l’esistenza di infiniti numeri infinitamente grandi e infinitesimali.

Utilizzando tali sequenze si possono definire le normali operazioni: per esempio, a + b = c, dove c è il numero corrispondente alla sequenza (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ... ) ottenuta sommando elemento a elemento le sequenze corrispondenti ad a e b.

 

Si possono quindi definire le usuali funzioni e su queste calcolare derivate e integrali, rendendo rigorosa l’operazione di “ignorare gli infinitesimi di ordine superiore”. Per esempio, nel campo degli iperreali la derivata di x2 è Derivata di x^2, calcolata usando numeri iperreali, dove Δx è un infinitesimo. Arrotondando quindi al numero reale più vicino si ottiene x2.

 

I numeri iperreali contengono come caso particolare gli iperinteri, che corrispondono ai normali interi se sono finiti.

 

Nel 1960 Abraham Robinsohn (Waldenburg, Germania, 6/10/1918 – New Haven, Conecticut, 11/4/1974) dimostrò che il sistema dei numeri iperreali è coerente se e solo se lo è quello dei numeri reali.

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