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Landau – Kolmogorov (costanti di)

Analisi 

Le costanti di Landau – Kolmogorov sono le costanti C(n, k) che compaiono in disuguaglianze della forma Disuguaglianza per la definizione delle costanti di Landau – Kolmogorov, con n > k, dove f(n) è la derivata n-esima della funzione e ||f|| è una norma definibile in vari modi. Tali costanti sono le migliori possibili, nel senso che se venissero ridotte si potrebbe trovare un controesempio.

 

Se consideriamo le funzioni definite per argomento da zero a infinito e definiamo Formula per la definizione della norma, Edmund Georg Hermann Landau (Berlino, 14/2/1877 – Berlino, 19/2/1938) dimostrò nel 1914 che se f è una funzione derivabile due volte tra zero e infinito, e sia la funzione sia la derivata seconda sono limitate, Disuguaglianza dimostrata da Landau.

I.J. Schoenberg e A. Cavaretta dimostrarono nel 1970 che in generale se la funzione e la derivata n-esima esistono e sono limitate, sempre tra zero e infinito Disuguaglianza dimostrata da Schoenberg e Cavaretta e trovarono modo di calcolare i valori delle costanti C(n, k).

In particolare:

  • C(2, 1) = 2,
  • Valore di C(3, 1),
  • Valore di C(3, 2).

 

Se consideriamo le funzioni definite sull’intero asse reale, invece della sua parte positiva, e quindi Formula per la definizione della norma, Jacques Salomon Hadamard (Versailles, 8/12/1865 – Parigi, 17/10/1963) dimostrò nel 1914 che, data una funzione f che soddisfi le condizioni del teorema di Landau, Disuguaglianza dimostrata da Hadamard e Andrey Nikolaevich Kolmogorov (Tambov, Russia, 25/4/1903 – Mosca, 20/10/1987) generalizzò nel 1962 il risultato a Disuguaglianza dimostrata da Kolmogorov, con Formula per il calcolo di C(n, k), dove Formula per il calcolo di K(n) è una costante di Favard.

Alcuni casi particolari, già scoperti da G.E. Shilov nel 1937, sono:

  • Valore di C(2, 1),
  • Valore di C(3, 1),
  • Valore di C(3, 2),
  • Valore di C(4, 1),
  • Valore di C(4, 2),
  • Valore di C(4, 3),
  • Valore di C(5, 1),
  • Valore di C(5, 2).

 

Se consideriamo le funzioni definite per argomento da zero a infinito e definiamo Formula per la definizione della norma, Godfrey Harold Hardy (Cranleigh, Inghilterra, 1877 – Cambridge, 1/12/1947) e John Edensor Littlewood (Rochester, Inghilterra, 1885 – Cambridge, 7/9/1977) e George Pólya (Budapest, 13/12/1887 – Palo Alto, California, 7/9/1985) dimostrarono nel 1934 che, se gli integrali e le derivate che compaiono nel membro destro della formula esistono e le derivate sono limitate, Disuguaglianza dimostrata da Hardy, Littlewood e Pólya.

J.I. Ljubic (1964) e L.P. Kupcov (1975) estesero la disuguaglianza come Disuguaglianza dimostrata da Ljubic e Kupcov e trovarono un algoritmo per il calcolo di C(n, k) in termini di zeri di polinomi.

Alcuni casi particolari sono:

  • Valore di C(2, 1) (G.H. Hardy, J.E. Littlewood e G. Pólya 1934);
  • Valore di C(3, 1) = C(3, 2);
  • Valore di C(4, 1) = C(4, 3), dove a è la minima soluzione positiva dell’equazione x8 – 6x4 – 8x2 + 1 = 0 (circa 0.3392462154);
  • Valore di C(4, 2), dove b è la minima soluzione positiva dell’equazione x4 – 2x2 – 4x + 1 = 0 (circa 0.2252704261);
  • Valore di C(n, 1), dove c è la minima soluzione positiva dell’equazione Equazione per la definizione di c.

In questo caso è stato dimostrato che tutti i valori di C(n, k) sono algebrici.

 

Se consideriamo le funzioni definite sull’intero asse reale, invece della sua parte positiva e quindi definiamo Formula per la definizione della norma, Hardy, Littlewood e Pólya dimostrarono nel 1934 che, con le stesse ipotesi, Disuguaglianza dimostrata da Hardy, Littlewood e Pólya. In questo caso, quindi C(n, k) = 1.

Vedi anche

Costanti di Favard.

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