Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Lal (costante di)

Teoria dei numeri 

M. Lal propose nel 1967 un caso particolare della congettura di Bateman – Horn, ossia la congettura che esistano infiniti valori di k tali che (k – 1)4 + 1 e (k + 1)4 + 1 siano entrambi primi e che il numero di tali coppie per k < n sia, per n grande, proporzionale a n / log(n)^2.

Daniel Shanks nello stesso anno raffinò la congettura, suggerendo che il numero di tali coppie con k < n tenda, per n tendente a infinito, a Limite asintotico cui tende numero di coppie con k < n e calcolò un’ottima approssimazione per la costante J.

 

J è nota come costante di Lal; il suo valore è Formula per la costante di Lal, dove K è la costante di Shanks.

Prodotto infinito che compare nella formula per la costante di Lal vale circa 0.88307100474.

 

La tabella seguente mostra le coppie di primi della forma sopra indicata, per k fino a 1000.

k

(k – 1)4 + 1

(k + 1)4 + 1

3

17

257

5

257

1297

47

4477457

5308417

55

8503057

9834497

81

40960001

45212177

89

59969537

65610001

141

384160001

406586897

277

5802782977

5972816657

493

58594980097

59553569297

555

94197431057

95565066497

567

102627966737

104086245377

583

114733948177

116319195137

731

283982410001

287107358977

759

330123790097

333621760001

787

381671897617

385571451137

799

405519334417

409600000001

913

691798081537

697886476817

929

741637881857

748052010001

 

La tabella seguente mostra l’accordo tra le previsioni e il numero effettivo di primi.

n

Limite asintotico cui tende numero di coppie con k < n

Numero di coppie per k < n

10

2.9017645004

2

102

8.1214366844

6

103

27.4777879529

18

104

128.5288451701

108

105

749.2385396925

713

106

4948.9056525228

4946

107

35252.9156063064

35321

 

Vedi anche

Costante di Shanks.

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