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Markoff (numeri di)

Teoria dei numeri 

I numeri di Markoff sono legati alle soluzioni intere positive dell’equazione x2 + y2 + z2 = 3xyz: si chiamano, infatti “numeri di Markoff”, in onore del matematico russo Andrei Andreyevich Markoff (Ryazan, Russia, 14/6/1856 – S. Pietroburgo, 20/7/1922) i numeri che fanno parte di una terna di interi positivi che risolve l’equazione, detta “tripla di Markoff”. Vi è una certa ambiguità sulla trascrizione del nome del matematico russo in caratteri latini; si trova spesso la versione “Markov” e quindi questi numeri sono anche chiamati “numeri di Markov”.

 

Si suole normalizzare le triple in modo che xyz.

Se la tripla (x, y, z) è una soluzione, lo sono anche le triple (x, z, 3xzy) e (y, z, 3yzx); tutte le soluzioni possono essere trovate applicando ripetutamente queste trasformazioni alla soluzione (1, 1, 1).

 

Moltiplicando i tre numeri che formano una soluzione intera dell’equazione x2 + y2 + z2 = 3xyz per 3 e dividendo poi i due membri per 3, si ottiene una soluzione dell’equazione x2 + y2 + z2 = xyz e viceversa da una soluzione di quest’ultima si ottiene una della prima, perché (3x)2 + (3y)2 + (3z)2 = (3x)(3y)(3z). Più in generale si dimostra che l’equazione x2 + y2 + z2 = nxyz ha soluzioni intere se solo se n = 3 o n = 1 e x, y e z sono multipli di 3.

 

Un metodo curioso per trovare i numeri di Markoff si basa sul suddividere il piano in regioni (infinite), alle quali si attribuiscono numeri con una semplice regola. Si inizia dividendo il piano con una retta verticale e attribuendo i numeri 1 e 2 alle due regioni; si prosegue poi prendendo un punto su una delle rette e sostituendo la semiretta inferiore con due semirette. Si determina così un punto comune a tre regioni, due delle quali già marcate con un numero; si attribuiscono i primi due valori alle variabili x e y e si risolve l’equazione, ricavando un valore positivo di z, uguale a Formula per il calcolo di z, che si attribuisce alla terza regione; tale valore è sempre intero.

Procedendo in questo modo si arriva a una suddivisione come quella mostrata nel disegno seguente.

 

Raffigurazione della suddivisione del piano

 

Markoff dimostrò che in questo modo si ottengono tutti e soli i numeri che portano il suo nome.

 

Le tre regioni che condividono un punto di biforcazione costituiscono una tripla di Markoff.

 

Le regioni adiacenti alla regione 1 hanno numeri di Fibonacci di indice dispari e costituiscono triple della forma (1, F2n – 1, F2n + 1) e quelle adiacenti alla regione 2 hanno numeri di Pell di indice dispari e costituiscono triple della forma (1, P2n – 1, P2n + 1), dove Pn è l’n-esimo numero di Pell.

Se uno dei valori di una tripla è 5, gli altri due sono termini della ricorrenza a0 = 0, a1 = 2, a2 = 13, a3 = 29, an = 15an – 2an – 4, i primi valori della quale sono: 1, 2, 13, 29, 194, 433, 2897, 6466, 43261, 96557, 646018, 1441889, 9647009, 21531778, 144059117, 321534781, 2151239746, 4801489937, 32124537073, 71700814274, 479716816349, 1070710724173, 7163627708162, 15988960048321.

 

La somma dei numeri delle regioni che si trovano alle estremità di un segmento è uguale al triplo del prodotto dei numeri delle regioni separate dal segmento stesso. Per esempio, considerando il segmento che va dalla regione marcata con 5 a quella marcata con 7561, 5 + 7561 = 3 • 13 • 194.

 

Tranne i casi (0, 0, 0), (1, 1, 1) e (1, 1, 2), non esistono triple con due valori uguali.

La congettura dell’unicità dei numeri di Markoff afferma che non esistono due regioni distinte con lo stesso valore; questo equivale ad affermare che non esistono due terne col valore massimo in comune. La congettura è stata verificata per tutti i numeri di Markoff fino a m1046858 ≈ 6.2763 • 101044.

 

Ogni numero di Markoff è membro di infinite triple.

Tranne (1, 1, 1) e (1, 1, 2) tutte le triple condividono due delle 3 variabili con altre tre triple; per esempio, la tripla (1, 5, 13) condivide due numeri con le triple (1, 2, 5), (1, 13, 34) e 5, 13, 194). Analogamente ogni coppia di numeri di Markoff distinti, tranne 1 e 2, appartiene a due triple; per esempio, la coppia 2 e 5 appartiene alle triple (1, 2, 5) e (2, 5, 29).

Se z > 2, x < sqrt(z) / 3.

 

I tre numeri che formano una tripla non hanno un divisore maggiore di 1 in comune.

 

Se si costruiscono tutte le biforcazioni sino a n livelli dalla base, si generano 2n + 1 regioni; numerandole da sinistra da 0 a 2n, il massimo valore tra quelli così generati si trova nella regione col numero più vicino ai 2 / 3 del massimo, cioè di 2n. Per esempio, il massimo numero dopo 2 livelli di biforcazioni è 29, che si trova nella regione numero 3 sulle 5, e 3 è l’intero più vicino a 8 / 3, mentre il massimo dopo 3 livelli è 433, che si trova nella regione numero 5 sulle 9, e 5 è l’intero più vicino a 15 / 3.

 

I numeri Markoff sono importanti, in connessione con i numeri di Lagrange, nella teoria che stabilisce limiti a quanto i numeri irrazionali possano essere approssimabili con frazioni.

 

Markoff dimostrò nel 1879 che una funzione f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 con a, b e c reali per qualche valore intero di x e y non entrambi nulli assume valori non superiori in valore assoluto a sqrt(b^2 – 4 * a * c) / 3, a meno che f sia della forma kpx2 + k(3p – 2n)xy + k(m – 3n)y2, con k intero, 0 < n < p / 2, nq ≡ ±r mod p, mpn2 = 1, dove (p, q, r) sono una tripla di Markoff.

Per esempio, data la tripla (13, 34, 1325), possiamo prendere k = 1, n = 5, dato che 5 • 34 = 170 ≡ –r mod 13, e m = 2, perché 2 • 13 – 52 = 1; la funzione risultante 13x2 + 29xy – 13y2 non assume mai valori assoluti inferiori a Limite inferiore dei valori della funzione per x e y interi non entrambi nulli: il minimo valore assoluto, infatti, è 13, che si ottiene per x = –1, y = 0 e per infinite altre coppie di valori interi di x e y.

 

I numeri di Markoff possono essere ricavati anche tramite matrici: date le matrici Matrice A e Matrice B, ogni numero di Markoff si trova nell’angolo superiore sinistro di alcuni prodotti di esse. Per esempio, Numero di Marloff ricavato da un prodotto delle matrici A e B.

Questi prodotti iniziano e terminano con B, sono palindromi e si conosce un metodo per determinare i prodotti validi.

 

Harvey Cohn dimostrò nel 1978 che per il numero M(n) di triple con i tre valori minori di n vale C1log2nM(n) ≤ C2log2n, dove Formula per la definizione della funzione f, per due costanti C1 e C2 e in particolare Limite inferiore per M(n) / log(n)^2.

Don Zagier dimostrò nel 1981 che M(n) tende a Clog2n, con Formula per la definizione di C, dove la somma va calcolata su tutte le triple di Markoff, dividendo però per 2 il valore ottenuto dalle prime due, (1, 1, 1) e (1, 1, 2). Zagier avanzò anche la congettura che mn tenda a e^(c * sqrt(n)), con C circa uguale a 2.3523418721, congettura che fu dimostrata che nel 1995 da Greg McShane e Igor Rivin.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Markoff fino a m20 (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

mn

1

1

2

2

3

5

4

13

5

29

6

34

7

89

8

169

9

194

10

233

11

433

12

610

13

985

14

1325

15

1597

16

2897

17

4181

18

5741

19

6466

20

7561

 

L’equazione di partenza è un caso particolare dell’equazione di Hurwitz: Equazione di Hurwitz, nella quale si chiede di trovare degli interi positivi tali che la somma dei loro quadrati sia un multiplo del loro prodotto. Tale equazione ha soluzioni intere solo se an, ma ha una soluzione per un valore fissato di a, ne ha infinite.

 

I numeri di Markoff non hanno invece nulla a che fare con uno stupendo teorema, che porta il suo nome. Date due matrici A e B di ordine 8 contenenti interi, esiste una sequenza di prodotti (come ABAABBB) che contenga uno zero?

Il teorema di Markoff afferma che il problema è algoritmicamente indecidibile, ossia che non esiste alcun algoritmo capace di stabilire in un tempo finito se tale prodotto esista, per qualsiasi coppia di matrici.

Bibliografia

  • Connes, Alain;  Lichnerowicz, André;  Schutzenberger, Marcel Paul;  Triangolo di pensieri, Torino, Boringhieri, 2001 -

    Essenzialmente un libro di filosofia, che contiene alcune proposizioni interessanti di matematica.

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