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σ*(n) è la somma dei divisori unitari di n. Un divisore d di n si dice unitario se dn diviso d non hanno divisori comuni maggiori di 1.

Per esempio, σ*(12) = 1 + 3 + 4 + 12 = 20.

 

Da notare che per i divisori unitari vale un teorema analogo a quello di Eulero: se a è un divisore unitario di n, esiste un intero k > 1 tale che aka mod n, anche se ovviamente a e n non sono primi tra loro. Per esempio, 8 è un divisore unitario di 24 e 83 ≡ 8 mod 24.

 

Alcune proprietà:

Formula per il calcolo della funzione, dove ep è l’esponente di p nella scomposizione in fattori primi di n;

la funzione è moltiplicativa;

σ*(n) è dispari se e solo se n è una potenza di 2 (incluso 1);

n e σ*(n) non possono essere entrambi multipli di 3 (Tomohiro Yamada, 2008);

Limite della somma dei divisori unitari.

 

Il numero di divisori unitari di n è 2ω(n).

 

La tabella seguente riporta i valori di σ*(n) per n fino a 20.

n

σ*(n)

1

1

2

3

3

4

4

5

5

6

6

12

7

8

8

9

9

10

10

18

11

12

12

20

13

14

14

24

15

24

16

17

17

18

18

30

19

20

20

30

 

Vi sono infiniti numeri che non sono uguali a σ*(n) – n per alcun valore di n (v. numeri intoccabili unitari).

 

Vi sono infiniti numeri che non sono uguali a σ*(n) per alcun valore di n (v. numeri intoccabili unitari di seconda specie).

Bibliografia

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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